一类一阶n次非线性常微分方程的解法

袁宏俊;胡凌云;刘国璧

【摘 要】运用特征方程法求出一类一阶非线性常系数微分方程的通解,并通过变量代换法,讨论一定条件下一阶非线性变系数微分方程转化成一阶非线性常系数微分方程的求解方法.

【期刊名称】《菏泽学院学报》 【年(卷),期】2011(033)002 【总页数】4页(P115-118)

【关键词】一阶非线性;常系数;变系数;微分方程;解 【作 者】袁宏俊;胡凌云;刘国璧

【作者单位】安徽财经大学统计与应用数学学院,安徽蚌埠,233030;安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽蚌埠,233030;安徽电子信息职业技术学院,安徽蚌埠,233030 【正文语种】中 文 【中图分类】O175.1 定义1 形如

的方程称为一阶n次变系数非线性微分方程，其中a1(x)，a2(x)，…，an(x)是连续函数. 定义2 形如

的方程称为与(1)对应的一阶n次常系数非线性微分方程［1］，其中a1，a2，…，

an是已知常数.

由于方程(1)和(2)都是一阶非线性常微分方程，而非线性常微分方程大多数不能直接求解［2，3］，我们根据上两组方程的结构特征，分别采用特征方程法、变量代换法来求解.

定理1 若y=φ(x)是微分方程(1)(或(2))的一个非零解，则微分方程(1)(或(2))的通解为:y=cφ(x)(c是任意常数).

由定理1可知只须找出方程(1)(或(2))的一个非零特解即可得相应方程的通解. 微分方程(2)两边同除以yn得:

由于a1，a2，…，an都是常数，分析得出方程(2)有解形如:y=eλx(λ为某待定常数).代入方程(2)得代数方程

称其为方程(2)对应的特征方程［4］.由特征方程解出特征根λ，则方程(2)有非零特解y=eλx，结合定理1可求出方程(2)的通解为:

定理2 1)若特征方程(3)存在n个不同特征根(不论实或虚)λ1，λ2，…，λn，那么方程(2)通解为:y=ceλ1x，y=ceλ2x，…，y=ceλnx(c是任意常数)，且彼此相互.

2)若特征方程(3)的特征根存在重根，不妨有n个相同特征根(不论实或虚)λ，方程(2)此时仅有通解为:y=ceλx(c是任意常数).

仅证明2):由方程(2)和(3)的关系及定理1可知:y=ceλx显然是方程(2)的通解.假设除此通解以外，方程(2)还有解:y=c(x)eλx，则 y'=(c'(x)+ λc(x))eλx，代入方程(2)得: 整理即:

由于特征根λ是n重的，则有: 代入上式即把繁琐的表达式简化成:

故有c(x)=c，所以仅有惟一通解:y=ceλx(c是任意常数).

对微分方程(1)作变量代换［5］y=p(x)z(x)，则 y'=p(x)z'(x)+p'(x)z(x)，代入得: 展开整理为:

若将方程(4)转化成常系数微分方程(2)只须上面方程中每个中括号部分是常数即可，取

定理3 一阶n次变系数非线性微分方程 的充要条件是:存在某常数k1，使得: 式中k2，k3是某常数.

所以原方程通解为:y(x)=cxex或y(x)=cxe－2x.

【相关文献】

［1］戴中林.一类一阶高次微分方程的解法［J］.大学数学，2006，22(6):155 －156. ［2］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2006. ［3］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京:高等教育出版社，1991.

［4］龚东山，牛富俊，刘岳巍.一类一阶微分方程通解的研究［J］.长沙大学学报，2008，22(5):1－3.

［5］庄万.常微分方程习题解［M］.山东:山东科学技术出版社，2004.