武功县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A(ðUB)（ A．2,4,6

B．1,3,5

C．2,4,5 ）

D．3

2． 抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ A．　

3． 若集合

B．

C．

）

D．2,5,则= ( )

ABCD

4． 设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．

B．

C．

或

D．3

，则

D．

，则tan2α=（

B．

C．

）

D．（ ）

+

取得最小值时，实数a的值是（

）

5． 设集合A．6． 已知A．

B．

C．

，集合

7． 已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（　　）

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A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣

8． 已知是虚数单位，若复数ZA．-2 间隔为（ A．10

）1111]B．15

2ai在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）2iB．1

C．2

D．3

9． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段

C．20

D．3010．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点段记为（ ）

，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

，

，将线段

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是

A

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B

C

D

11．设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（ ）

A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜3

12．函数f(x)x24x5在区间0,m上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（A．[2,)

B．2,4

C．(,2]

二、填空题

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）D．0,2

13．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{an}（即项数是无穷项），我们定义的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=　

Sn=

Sn（其中Sn是数列{an}

，则循环小数0. 的分数形式是　　　　　　．14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm和4cm,侧棱长为

2cm,则其

表面积为__________cm2.

15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为　　　　　　． ①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则

的最大值为

；

④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．

⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且16．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fxex•=5，则△ABC的形状是直角三角形．

2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数

2x0，使得fx00，则a的取值范围是 17．已知关于的不等式xaxb0的解集为(1,2)，则关于的不等式bxax10的解集为___________.

2三、解答题

18．已知函数f（x）=

，求不等式f（x）＜4的解集．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．

（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若

，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？

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（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．

20．（1）求与椭圆（2）求与双曲线

有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．有相同的渐近线，且焦距为

的双曲线的标准方程．

21．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

(不等式选做题)设

（几何证明选做题）如图，若

,则

，且

中，

，以

，则的最小值为

于点

，

为直径的半圆分别交

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22．（本小题满分12分）已知椭圆C的离心率为动点，且PAAPB的最小值为-2.

（1）求椭圆C的标准方程；

2，A、B分别为左、右顶点， F2为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的2（2）若过左焦点F1的直线交椭圆C于M、N两点，求F2MAF2N的取值范围.

23．已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=为Tn，

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若对任意正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞Tn恒成立，求实数t的取值范围

（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．　

+

（n≥2）．记数列{

}前n项和

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武功县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题

1． 【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2． 【答案】A【解析】解：由

△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．

所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立

，得3x2﹣4x﹣m=0．

，得3x2﹣4x+8=0．

由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，得m=﹣．

所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是故选：A．

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．　

3． 【答案】B【解析】

=．

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4． 【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，f′（a）=当减．∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=当递减．∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

5． 【答案】B

【解析】【知识点】集合的运算【试题解析】故答案为：B6． 【答案】C【解析】解：∵

所以

。

+

取得最小值．

+

取得最小值．

﹣

+ +

=﹣

取得最小值．=﹣（

）=﹣（

+，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

）=f（a），

+

+

==

=

+

=f（a），

，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

或时，

，又sin2α+cos2α=1，

联立解得，或

故tanα==，或tanα=3，

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代入可得tan2α===﹣，

或tan2α=故选C

==

【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．　

7． 【答案】D

【解析】

【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：

．

故选D8． 【答案】A【解析】试题分析：

或

4a02ai2ai2i4a(2a2)i，对应点在第四象限，故，A选项正确.2i52i2i2a20考点：复数运算．9． 【答案】D【解析】

试题分析：分段间隔为考点：系统抽样10．【答案】C【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算

150050，故选D.30第 10 页，共 20 页

所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

=13。

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）根据相识三角形易知：xE2=2xE=2×4=8，yE2=2yE=2×3=6，即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。11．【答案】A

【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，x＞3是x＞2的充分条件，

x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．　

12．【答案】B【解析】

试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m的右端点为，故m的取值范围是2,4.

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考点：二次函数图象与性质．

二、填空题

13．【答案】　

【解析】解：0. =

+

+…+=

=

，

　．

故答案为：．

【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．　

14．【答案】12320【解析】

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考

点：棱台的表面积的求解.15．【答案】 ：①②③

【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则斜率，其最大值为

，③正确；

=

，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的

对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜

，即A+B＞

﹣A），

，B＞

﹣A，

则cosB＜cos（

即cosB＜sinA，故④不正确．

对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，

取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵由则即则

，

=

|，

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又BC=5则有

由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．

则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．故答案为：①②③16．【答案】【解析】试题分析:设

的下方.因为

当

时,

,函数,故当

,故当

,由题设可知存在唯一的整数x0，使得

时,

,函数

在直线单调递减; ,而当

,解之得

时,

单调递增;故且

,应填答案

3,1.2e考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．

【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点x0，使得fx00为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数x0，使得据题设建立不等式组求出解之得17．【答案】(,)(1,)【

解

析

】

在直线

.

的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

12第 14 页，共 20 页

点：一元二次不等式的解法.

三、解答题

18．【答案】

【解析】解：函数f（x）=

，不等式f（x）＜4，

当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1．综上x∈（﹣3，0）．

不等式的解集为：（﹣3，0）．　

19．【答案】

【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．

（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，当M为PD的中点时，EM∥AD，∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，∴平面BEM⊥平面PAB．此时，

．

（III）设CD的中点为F，连接BF，FM由（II）可知，M为PD的中点．∴FM∥PC．

∵AB∥FD，FD=AB，∴ABFD为平行四边形．∴AD∥BF，又∵EM∥AD，∴EM∥BF．

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考

∴B，E，M，F四点共面．

∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，∴PC∥平面BEM．

【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．　

20．【答案】

【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆设椭圆方程

由（4，3）在椭圆上得则椭圆方程为（2）由双曲线设所求双曲线的方程为

；

有相同的渐近线，﹣

=1（λ≠0），

，

，

有相同的焦点，

由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为　

21．【答案】【解析】A

﹣

=1或

﹣

=1．

B

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x2y2

1；（2）F2MAF2N[2,7).22．【答案】（1）42【解析】

试

c2c21题解析：（1）根据题意知，即2，

a2a2a2b21，则a22b2，∴2a2设P(x,y)，∵PAAPB(ax,y)A(ax,y)，

a2x212xayxa(xa2)，

222a22，∵axa，∴当x0时，(PAAPB)min222∴a4，则b2.

x2y2

1.∴椭圆C的方程为4222222第 17 页，共 20 页

1111]

42k24(k21)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2，x1x2，2212k12k∵F2M(x12,y1)，F2N(x22,y2)，2∴F2MAF2Nx1x22(x1x2)2k(x12)(x22)(1k2)x1x2(2k22)(x1x2)2k224(k21)42k222(1k)A2(k1)A2k22212k12k97.

12k2121.∵12k1，∴0212k9[2,7).∴7212k综上知，F2MAF2N[2,7).

2考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.23．【答案】

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【解析】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=所以

，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=

，

，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=，所以c=1．

因为数列{an}是等比数列，所以又公比q=由题意可得：又因为bn＞0，所以所以数列{所以bn=2n﹣1．（2）因为数列所以 ==

；

前n项和为Tn，

当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1；

；

，所以

；

=

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有

，

；

因为当m∈[﹣1，1]时，不等式设g（m）=﹣2tm+t2，m∈[﹣1，1]，

恒成立，

所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt＞0恒成立即可，所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可，所以

解得t＜﹣2或t＞2，

所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）T1，Tm，Tn成等比数列，得Tm2=T1Tn∴∴

结合1＜m＜n知，m=2，n=12

，，

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【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．　

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