数学建模课后习题

利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：

x(0)M(mg)

由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量x(t)成正比，比例系数0，得到微分方程

dxx,x(0)M （1） dt原模型已假设t0时血液中药量无药物，则y(0)0，y(t)的增长速度为x。由于治疗而减少的速度与y(t)本身成正比，比例系数0，所以得到方程：

dyxy,y(0)0 （2） dt方程（1）可转换为：x(t)Me带入方程（2）可得：y(t)t

M(etet) 将01386和0.1155带入以上两方程，得：

x(t)Me0.1386t y(t)6M(e0.1155te0.13866)

针对孩子求解，得：

严重中毒时间及服用最小剂量：t7.876h，M494.87mg； 致命中毒时间及服用最小剂量：t7.876h，M948.46mg 针对成人求解：

严重中毒时间及服用最小剂量：t7.876h，M945.83mg 致命时间及服用最小剂量：t7.876h，M1987.74mg

课后习题7.

对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。

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解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以u60.639

x(t)1100et，x为胃肠道中的药量，0.1386 y(t)6600(etet)

dzxuz,t2,x1100et,z(2)236.5,u0.639,0.1386 dt解得：zt275e用matlab画图:

0.1386t112.274e0.693t,t2

图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。

从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。

第二章

1.用2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系：

— 2

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1）以雇员一天的工作时间和

工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差

别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状；

2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议；

3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t2，他有两种办法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点

— 3

工时—

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达成新的协议；二是实行超时工资制，即对

仍付原计时工资，对工时

付给更高的超时工资，试用作图方法分析那

4

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种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件。

解：

1）雇员的无差别曲线族是下凸的，

如图。当工资较低时，他愿意以多的工作时间换取少的工资；当工资较高时，就要求以多的工资来增加工作时间。

— 5

2）雇主的计时工资族是—

是工资率的

这族切精选文库

，

直线与

点

6

，精选文库

—

等的连为雇员与雇主的协议线，，

线

通常

7

3）设双方在— 精选文库

是上升的，见图：

点达成协议，当雇主想使

8

雇员的工作时间增至—

办法，上

找出精选文库

应在协议线

横坐标为

9

时，用提高计时工资率

的—

精选文库

的

点，工资额为

见上图，用超时工资的办法，应从

10

，精选文库

点作某一条无差别曲线的切线，使切点P2’

的横坐标刚好是t2，若点P2’在P2的下方，则工资额w2’没有变化。

课后第三章习题

1.在3.1节的存贮模型总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量，证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。

解:

设购买单位重量货物的费用为k，对于不允许缺货模型，每天平均费用为

— 11

每天平均费用为—

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T,Q的最优结果不变，对于允许缺货模型，

，注意到

T，Q的最优结果也不变。

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，，可知精选文库

2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型，设

生产速率为常数k，销售速率为常数r，k>r，在每个生产周期T内，开始的一段时间

一边生产一边销售，后来的一段时间

— 13

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只销售不生产，画出存贮量q(t)的图形，设

每次生产准备费为c1,单位时间每件产品存贮费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周

期，讨论和

— 14

解:

贮存— 量

q（t）的精选文库

的情况。

形如图，单位时间总费用，

，使c（T）达到最小值的最优周期

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图 当k>>r时，当

—

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，相当于不考虑生产的情况，

时，

16

。精选文库

，产量被销售量抵消，无法形成贮存量。

第四章

1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下: （1）及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

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表1 证券信息

证券名称 A B C D E

证券种类 市政 代办机构 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益/% 4.3 5.4 5 4.4 4.5 问:（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 1.1 问题分析

问经理应该如何投资实际上是在问对已知的几种类型的证券要如何投资才能使得经理的最终收益最大。应该先对表中所给的几种证券的各个数据进行分析，列出几种证券投资后经理的收益函数，同时使得该函数所得结果要满足题目中给定的几个。对于（2）、（3）问的求解只用调整相应的条件和第一问函数的几个三叔即可。 1.2 模型建立

（1)假设投资给证券A，B，C，D，E的资金分别为a，b，c，d，e（百万元），经理最终的收益为y（百万元），则可以建立如下数学模型:

y0.043*a0.027*b0.025*c0.022*d0.045*e

bcd46*a6*b-4*c-4*d36*e0 4*a10*b-c-2*d-3*e0a,b,c,d,e0用LINGO软件求解：

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得到如下结果：

证券A投资2.182百万元，证券C投资7.3百万元，证券E投资0.454百万元；

经理最大税后收益为0.298百万元。

(2)由(1)的结果可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。修改（1）中的条件建立如下的心新模型：

y0.043*a0.027*b0.025*c0.022*d0.045*e

bcd46*a6*b-4*c-4*d36*e11 4*a10*b-c-2*d-3*e0a,b,c,d,e0求解得到:

证券A投资2.40百万元，证券C投资8.10百万元，证券E投资0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

(3)由(1)的结果中目标函数系数的允许范围可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减少0.112%(注意按50%的税率纳税)，故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

2、一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位:千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和相邻区的大学生售书，这两点销售代理点应建立在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。

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图1

2.2 问题分析

首先简化作图，使得图中的邻里关系更加清楚，其次，通过假设0-1变量得到供应量最大化的函数，由于一个地区不能被两个销售点供应，所以得到七个条件，并由LINGO求解，得到一个0-1整数规划问题的解.

2.3 建立模型

将大学生数量为34，29，42，21，56，18，71的区分别编号为1，2，3，4，5，6，7区，如图所示：

5 2 1 3 4 6 7 记rri为第i区的大学生人数，用0-1变量xij=1表示(i,j)区的大学生由一个销售代理点供应图书(ii,j相邻(rr)xijij

xij2

i,j xijxji1,i

jj

—

xij0,1

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63x12+76x13+71x23+50x24+85x25+63x34+77x45+39x46+92x47+74x56+x67

x12+x13+x23+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x672

x12+x131 x12+x23+x24+x251 x13+x23+x241 x24+x34+x45+x46+x471 x25+x45+x561 x46+x56+x671 x47+x671 xij=0或1

用LINGO软件求解：

得到最优解为x25 = x47 = 1,其余均为0，最优解为177人。

3、某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如表所示：

表二 不同时间段要求的服务员数量 时间段/时 9 - 10 10-11 11-12 12-1 服务员数量 4 3 4 6 1-2 5 2-3 6 3-4 8 4-5 8 — 21

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储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排1h的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果该雇佣半时服务员的数量没有，每天可以减少多少费用？ 3.2 问题分析

先为午餐时间的服务人员假定一个人数，再利用题目所给的表中的各个时段服务人员的相应人数来假定各个时段的无非人员人数。表中每个时段所需服务员人数可以得到若干个约束条件，目标函数即为服务员数与工资的乘积得出，最小值即为最优解。

若不能雇佣半时服务员，则使其数量为零并重新修改原模型；如果雇佣半时服务员的人数没有，则在原来模型的基础上去掉关于半时工作人员数量的约束条件即可得出新的模型。 3.3 模型建立

储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12:00-1:00为午餐时间的有a名，以1:00-2:00为午餐时间的有b名；半时服务员中从9:00，10:00，11:00，12:00，1:00开始工作的分别为A,B,C,D,E名。

100*x+100*y+40*A+40*B+40*C+40*D+40*E; x+y+A4;

x+y+A+B3; x+y+A+B+C4; y+A+B+C+D6; x+B+C+D+E5; x+y+C+D+E6; x+y+D+E; x+y+E8; A+B+C+D+E3;

x,y,A,B,C,D,E0且为整数

求解:

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得到最优解x=3,y=4,A=0,B=0,C=2,D=0,E=1,最小费用为820元。

如果不能雇佣半时服务员，则最优解x=5，y=6,A=0,B=0,C=0,D=0,E=0,最小费用为1100元，即每天至少增加1100-820=280元。

如果雇佣半时服务员的数量没有，则最优解为x=0,y=0,A=4,B=0,C=0,D=2,E=8，最小费用为560元，即每天可以减少费用820-560=260元。

马尔萨斯人口模型及阻滞增长模型

1.1 时间:1790年-2000年 绘图代码如下：

t=1790:10:2000;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) x1=x0.*exp(r.*t);

plot(t,x,'r+',t,x1,'b') %红色的为原始数据，蓝色的为拟合数据

r=0.0202 ， x0=1.1960e-15

图型如下：

— 23

1.2 时间：1790年-1900年 绘图代码：

t=1790:10:1900;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) x1=x0.*exp(r.*t);

plot(t,x,'r+',t,x1,'b') %红色的为原始数据，蓝色的为拟合数据

r=0.0274，x0=1.9790e-21

图像如下：

—

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1、阻滞增长模型

clc;clear; t = 1790:10:1900;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0]; x_m = x(1,1:11); y = ones(1,11); for i=1:11

y(i) = (x(i+1)-x(i))/x(i)/10; end

p = polyfit(x_m,y,1); r = p(2); xm = r/-p(1);

计算得到：r=0.208 ， xm = 151.1570； 绘制拟合曲线代码： clear; clc; format compact;

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4]; len=length(x); t=0:len-1; x0=3.9;r=0.2876; xm=312.3413;

y=xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*t)); plot(t,x,'r+',t,y,'b-');

拟合图像结果如下：

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得到的人口数据如下：

由拟合图和所得数据可得看出，阻滞人口增长模型与实际人口的数量相符程度比马尔萨斯模型的符合程度高很多。

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