数学建模习题解疑

解: 设P、v、S、的关系为f(P,v,s,)0， 其量纲表达式为: [P]=MLT23, [v]=LT1,[s]=L,[]=ML,这里L,M,T是基本量纲.

23量纲矩阵为：

1210A=31(P)(v)

齐次线性方程组为：

23(L)01(M) 00(T)(s)(2y1y22y33y40 y1y403yy012它的基本解为y(1,3,1,1) 由量纲Pi定理得

P1v3s11， Pv3s11 ， 其中是无量纲常数.

16．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系

数，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,,,g 的关系为f(

-2

-1-1

-1-2

-30

[]=LMT，v,,,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，

-1

-1

0-2

[]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[g]=LMT,其中L，M，T是基本量纲.

-2-2

量纲矩阵为

1311(L)0(M)110A= 1012(T)(v)()()(g)齐次线性方程组Ay=0 ，即

 y1-3y2-y3y40 0 y2y3 -y -y-2y0341的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲Pi定理 得

v31g. v3g，其中是无量纲常数. 16．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,,,，g 的关系为f(v,,,,g)0.其量纲表达式为

[v]=LMT，[]=LMT，[]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[]=LM0T0 ，[g]=LMT

0-1

-3

0

-2

-1-1

-1-2

-2-2

-1

-1

0-2

*其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为

10A=1(v)齐次线性方程组Ay=0 即

13100101(L)10(M) 12(T)()()()(g)y1y23y3y4y50y3y40 y1y42y50 的基本解为

11y(1,,0,0,)122

31y2(0,,1,1,)22得到两个相互的无量纲量

1v1/2g1/2 3/211/2g2即 v1) g1,3/2g1/2121. 由(1,2)0 , 得 1(2 

g(3/2g1/21) , 其中是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为

f(t,l,m,g,k)0

其量纲表达式为：

[t]L0M0T,[l]LM0T0,[m]L0MT0,[g]LM0T2,[k][f][v]1MLT2(LT1)1L0MT1， 其中L，M，T是基本量纲.

量纲矩阵为

00A=1(t)100(L)0101(M) 0021(T)1(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组

y2y40y3y50 y2yy0451的基本解为

11Y(1,,0,,0)122 11Y2(0,,1,,1)22得到两个相互的无量纲量

tl1/2g1/211/211/2lmgk2

∴t

kl1/2l1, 1(2), 2 1/2gmglkl1/2(1/2) ，其中是未定函数 . gmg∴t 考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

lkl1/2() t,t；l,l;m,m. 又tgmg1/2'''当无量纲量

mltlgl时， 就有 . mltgll