专题19.18 一次函数规律问题(专项练习)年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

一、单选题

1．如图，在平面直角坐标系中，函数y2x和yx的图象分别为直线l1，l2，过点1,0作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2018的坐标为（ ）．

A．21009,21009 ,21010

B．2D．21009,21009

C．210091009,21010

2．如图,直线l:y3x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直线l的垂线3交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去,则点A2015的坐标为( )

A．(0，42015) B．(0, 42014) C．(0, 32015) D．(0, 32014)

3．如图，过点A1(1,0)作x轴的垂线，交直线y2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对

1

称；过点A2(2,0)作x轴的垂线，交直线y2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y2x于点B3；按B3此规律作下去，则点Bn的坐标为(

)

A．(2n，2n-1)

B．(2n1，2n)

C．(2n+1，2n)

D．（2n，2n1）

4．如图，已知直线l:y3x，过点A0,1作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直3线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，…，按此作法继续下去，则点A2020的坐标为（ ）

A．0,2020 B．0,4040

C．0,22020

D．0,42020

5．在平面直角坐标系中，解析式为y3x1的直线a，解析式为y3x的直线b，如3图所示，直线a交y轴于点A，以OA为边作一个等边三角形OAB，过点B作y轴的平行线交直线a于点A1，以A1B为第二个等边三角形A1BB1，…顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长是（ ）

2

A．22019 B．22020

C．4038 D．4040

6．如图，在平面直角坐标系中，直线l是y＝x的图象，点A1在x轴正半轴上，OA11．作

A1B1x轴交直线l于点B1 ，以O为圆心，OB1为半径画弧，交x轴正半轴于点A2．作A2B2x轴交直线l于点B2，以O为圆心，OB2为半径画弧，交x轴正半轴于点A3．作A3B3x轴交直线l于点B3，OB3为半径画弧，以O为圆心，交x轴正半轴于点A4……．按

此作法进行下去，则点A2019的横坐标为（ ）．

A．21009

二、填空题

B．21010 C．22018 D．22019

7．如图，在平面直角坐标系中，点A3,0，点B0,1，作第一个正方形OA1C1B1且点A1在OA上，点B1在OB上，点C1在AB上；作第二个正方形A1A2C2B2且点A2在A1A上，点B2在A1C2上，点C2在AB上…，如此下去，其中C1纵坐标为______，点Cn的纵坐标为______．

3

8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1、l2分别是第一、三象限和第二、四象限的平分线，

y轴上有一点P0,2，作点P关于l1的对称点P1，作点P1关于l2的对称点P2，作点P2关，于l1的对称点P3，，则P2的坐标为______；若记D1PP12，D3P2P3，1，D2PP则D1D2D3D2019______．

9．如图，直线yx2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y3x1于3点B1，过点B1作y轴的平行线交直线yx2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线

y3…，过点B2及作y轴的平行线交直线yx2于点A2，依此类推，x1于点B2，

33x1上的点B1，B2，B3，…，3…，得到直线yx2上的点A1，A2，A3，与直线y则An1Bn的长为______．

4

10．在直角坐标系中，直线l为y=3x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3…按照这样的作法进行下去，则点A20的坐标是______．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点D为直线y2x上且在第一象限内的任意一点，

DA1⊥x轴于点A1，以DA1为边在DA1的右侧作正方形A1B1C1D；直线OC1与边DA1交于

点A2，以DA2为边在DA2的右侧作正方形A2B2C2D；直线OC2与边DA1交于点A3，以DA3为边在DA3的右侧作正方形A3B3C3D，……，按这种方式进行下去，则直线OC1对应的函数表达式为________，直线OC3对应的函数表达式为 _______．

5

12．如图，直线l：y＝

3x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，3以原点O 为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为_______；点An的坐标为_______．

13．在平面直角坐标系中，点A(2,1)在射线OM上，点B(2,2)在射线ON上，以AB为直角边作RtABA1，以BA1为直角边作第二个RtBA1B1，然后以A1B1为直角边作第三个

RtA1B1A2，…，依次规律，得到Rt△B△2020A2021B2021，则点B2021的纵坐标为____．

6

14．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，3）P2，P3，其直角顶点P（，…均在直线y13，

1x4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…3的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，Sn＝_____．

15．如图，已知直线l1：y＝﹣x+2与l2：y＝

11x+，过直线l1与x轴的交点P1作x轴的22垂线交l2于Q1，过Q1作x轴的平行线交l1于P2，再过P2作x轴的垂线交l2于Q2，过Q2作

Pn，P5，x轴的平行线交l1于Q3，…，这样一直作下去，可在直线l1上继续得到点P4，…，…．设

点Pn的横坐标为xn，则xn1与xn的数量关系是_____．

7

参

一、单选题 1．【答案】B

【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2018=504×4+2即可找出点A2018的坐标． 【详解】当x=1时，y=2， ∴点A1的坐标为（1，2）； 当y=-x=2时，x=-2， ∴点A2的坐标为（-2，2）；

同理可得：A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），A6（-8，8），A7（-8，-16），A8（16，-16），A9（16，32），…，

∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），

A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）． ∵2018=504×4+2，

∴点A2018的坐标为（-2504×2+1，2504×2+1），即（-21009，21009）． 故选：B．

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 2．【答案】A

【解析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2

8

的坐标，通过相应规律得到A2015标即可． 【详解】∵直线l的解析式为：y∴直线l与x轴的夹角为30°， ∵AB∥x轴， ∴∠ABO=30°， ∵OA=1， ∴AB=3， ∵A1B⊥l， ∴∠ABA1=60°， ∴AA1=3， ∴A1（0，4）， 同理可得A2（0，16）， …，

∴A2015纵坐标为：42015， ∴A2015（0，42015）．

3x， 3

故选：A．

【点拨】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．

3．【解析】先根据题意求出点A2的坐标，再根据点A2的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点Bn的坐标．

9

【详解】∵A1(1,0) ∴OA11

∵过点A1(1,0)作x轴的垂线，交直线y2x于点B1 ∴B11,2 ∵A2(2,0) ∴OA22

∵过点A2(2,0)作x轴的垂线，交直线y2x于点B2 ∴B12,4

∵点A3与点O关于直线A2B2对称 ∴A34,0,B34,8

以此类推便可求得点An的坐标为2故答案为：B．

n1,0，点Bn的坐标为2n1,2n 

【点拨】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键． 4．【答案】D

【解析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2020坐标即可． 【详解】∵直线l的解析式为y3x， 3

10

∴直线l与x轴的夹角为30． ∵ABx轴，

∴ABO30． ∵OA1， ∴OB2．

30， ∴A1B直线l，BAO1∴A1O2OB4，

A10,4．

同理可得A20,16，… ∴A2020的纵坐标为42020， ∴A20200,42020．

故选D．

【点拨】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键． 5．【答案】A

A2B1交x轴于E，A1B=BB1，【解析】延长A1B交x轴于D，根据等边三角形的性质得OA=OD，A2B1=B2B1，直线OB的解析式为y3x，得出∠BOD=30°，由直线a：y3x1得出3133，由勾股定理得OD=，把x=222第一个等边三角形边长为1，由30°角的性质得BD=

代入y=3x+1求得A1的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，…，按照此规律得

11

到第三个、第四个等边三角形的边长，从而求得第2020个等边三角形的边长． 【详解】延长A1B交x轴于D，A2B1交x轴于E，如图，

∵△OAB、⊥BA1B1、⊥B1A2B2均为等边三角形， ∴OA=OD，A1B=BB1，A2B1=B2B1， ∵直线OB的解析式为y=33x， ∴∠BOD=30°，

由直线a：y=3x+1可知OA=1， ∴OB=1， ∴BD=

12， 2∴OD=12132=2， 把x=352代入y=3x+1得y=2，

∴A1D=

52， ∴A1B=2， ∴BB1=A1B=2， ∴OB1=3， ∴B1E=

32， ∴OE=323233，

2=2

12

把x=1133代入y=3x+1得y=，

2211， 2∴A2E=

∴A2B1=4，

同理得到A3B2=23，…，按照此规律得到第2020个等边三角形的边长为22019， 故选A．

【点拨】本题考查了图形类规律探究、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，找出第n个等边三角形的边长为2n-1是解题的关键． 6．【答案】A

【解析】根据题意求出B1点的坐标，进而找到A2点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点A2019的坐标．

【详解】已知点A1坐标为（1，0），且点B1在直线y=x上，可知B1点坐标为（1，1）， 0）由题意可知OB1=OA2=2,故A2点坐标为（2，，同理可求的B2点坐标为（2，2），

A3点坐标为（2，0）,按照这种方法逐个求解便可发现规律，A2019点的横坐标为

即21009； 故选：A

22018,

【点拨】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据特殊三角形的性质，得出直角边长之间的变化规律．

二、填空题

7．【解析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可． 【详解】设直线AB的解析式y=kx+b

13

33kb0k ，解得：则有：3

b1b1所以直线仍的解析式是：y=3x1 33x1 3设C1的横坐标为x，则纵坐标为y=∵正方形OA1C1B1

133x3∴x=y，即xx1，解得2 3313∴点C1的纵坐标为33 2262333=同理可得：点C2的纵坐标为

2233C∴点n的纵坐标为．

23333故答案为：，．

22nn

【点拨】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 8．【解析】根据象限的平分线写出直线解析式，再结合图象写出P1、P2的坐标，通过坐标找到线段长度的规律PP1＝P1P2＝ P2P3＝．．．＝P2018P2019＝2OP＝22，再进行分析解答即可．

【详解】∵直线l1、l2分别是第一、第三象限和第二、第四象限的平分线，

14

∴直线l1的解析式为yx，直线l2的解析式为y-x，

依题意可知：点P（0，2）关于yx对称的对称点P1的坐标是（2，0）； 点P1关于直线y-x对称的对称点的P2的坐标是（0，－2）， ∴OP＝ OP1＝OP2＝．．．＝OP2019＝2

，

∴PP1＝P1P2＝ P2P3＝．．．＝P2018P2019＝2OP＝22， ∴D1＋D2＋D3＋..＋D2019＝ PP1＝P1P2＝ P2P3＝．．．＝P2018P2019， ＝

22+22+2019个+22，

＝201922， ＝40382，

故填：（0，－2）；40382．

【点拨】本题考查一次函数的图象和坐标特征，通过坐标的规律找到线段的长度规律是关键． 9．【答案】

3

n【解析】根据两直线的解析式分别求出A0、A1、A2An1与B1、B2、Bn的坐标，然后将A0B1、A1B2、A2B3、A3B4的长度求出，然后根据规律写出An1Bn的长即可． 【详解】令x0代入yx2，

y2，

A0(0,2)，

令y2代入y3x1， 3

15

x3，

A0B13，

令x3代入yx2， y32， A1(3,32)，

令y32代入

y3x1， 3x33，

B2(33,32)， A1B23，

同理可求得：A2B333，A3B49， 由以上规律可知：An1Bn故答案为：

3，

n3．

n

【点拨】本题考查数字规律问题，解题的关键根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出An1Bn的长的规律． 10．【答案】（219，0）

【解析】根据题意，由A1(1，0)和直线l关系式y=3x，可以求出点B1的坐标，在Rt△OA1B1中，根据勾股定理，可以求出OB1的长；再根据OB1=OA2确定A2点坐标，同理可求出A3、

16

A4、A5……，然后再找规律，得出An的坐标，从而求得点A20的坐标． 【详解】

当x1时，y3x3，即A1B1=3，

在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1=2， ∵OB1=OA2， ∴A2 (2，0)

同理可求：A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……

由点：A1(1，0)、A2(2，0)、A3(4，0)、A4(8，0)、A5(16，0)……

即：A1(20，0)、A2(21，0)、A3(22，0)、A4(23，0)、A5(24，0)……可得An(2n-1，0) ∴点A20的坐标是(219，0)， 故答案为：(219，0)．

【点拨】考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性．在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意． 11．【答案】y214x ， yx

153【解析】点D在y=2x上，确定D（x，2x）,由正方形DA1B1C1，确定A1坐标，求C1坐标(3x，2x)，OC1为正比例函数，y=k1x，点C1坐标代入，k1可求，由y=k1x，确定A2，求C2坐标，求 OC2：y=k2x，确定A3，求C3坐标，求OC3：y=k3x． 【详解】设OC1：y=k1x，OC2：y=k2x， OC3：y=k3x，

点D在y=2x 上，设点D的横坐标为x，D(x，2x)，A1（x，0）， DA1=2x，xC1=x+2x=3x， C1(3x，2x)， 把C1代入y=k1x得k1=OC1与DA1交于A2，

22，OC1：y=x， 33

17

A2的横坐标为x，

A2在OC1：y=23x，A(x，23x)， DA2=2x-23x=43x，

xC2=x+43x=73x，

C2(73x，2x)，

把C2代入OC2：y=k2x，k2= 67，

OC2：y=67x，

OC2与DA1交于A3， A3的横坐标为x， A3在OC2：y=67x， A3(x，

67x)， DA3=2x-687x=7x，

xC3=x+8157x=7x，

C3(157x，2x)，

把C3代入OC3：y=k3x，k3= 1415， OC3：y=

1415x， 故答案为：①y=

23x，②y=1415x．

【点拨】本题考查过点Cn的正比例函数解析式问题，关键从已知中求出Cn的坐标．

18

12．【答案】（0，8） （0，2n-1）

【解析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，在根据B1点的坐标求出A2点的坐标，由此得到点A4的坐标，以此类推总结规律便可求出点An的坐标． 【详解】 ⊥直线y⊥可知B1点的坐标为

3，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1， x，点A1坐标为（0，1）

33,1

⊥以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2，OA2=OB1=2OA1=2， ⊥点A2的坐标为（0，2），这种方法可求得B2的坐标为23,2 故点A3的坐标为（0，4），点A4的坐标为（0，8）， 此类推便可求出点An的坐标为（0，2n-1） 故答案为（0，8），（0，2n-1）．



【点拨】本题考查探索规律题（图形的变化类）；一次函数图象上点的坐标特征． 13．【答案】22022

【解析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可．

【详解】解：由已知可知：

点A、A1、A2、A3……A2020各点在正比例函数y＝

2x的图象上， 2点B、B1、B2、B3……B2020各点在正比例函数y＝2x的图象上， 两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为

2x ① 2当A（B）点横坐标为2时，由①得AB＝1，则BA1＝2，则点A1横坐标为2＋2＝

19

22，B1点纵坐标为2•22＝4＝22；

当A1（B1）点横坐标为22，由①得A1B1＝2，则B1A2＝22；则点A2横坐标为22＋22＝42，B2点纵坐标为2×42＝8＝23；

当A2（B2）点横坐标为42，由①得A2B2＝4，则B2A3＝42，则点A3横坐标为42＋42＝82，B3点纵坐标为2×82＝16＝24； 以此类推，点B2021的纵坐标为22022， 故答案为22022．

【点拨】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合． 14．【答案】

99（或）

22n24n1【解析】分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，

∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，

20

∴OC=CA1=P1C=3， 设A1D=a，则P2D=a， ∴OD=6+a，

∴点P2坐标为（6+a，a）， 将点P2坐标代入y=-解得：a=

11x+4，得：-（6+a）+4=a， 333， 23， 2∴A1A2=2a=3，P2D=

同理求得P3E=∵S133、A2A3=，

2411391339639,S23,S3、…… 22242241699∴Sn=n1（或2n2）．

2499故答案为n1（或2n2）．

24【点拨】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 15．【答案】xn+2xn+1＝3

【解析】令y＝0求出点P1的坐标，再根据点Q1与P1的横坐标相同求出点Q1的坐标，根据Q1、P2的纵坐标相同求出点P2的坐标，然后求出Q2、P3的坐标，然后根据变化规律解答即可．

【详解】令y＝0，则﹣x+2＝0， 解得x＝2， 所以，P1（2，0）， ∵P1 Q1⊥x轴，

∴点Q1与P1的横坐标相同， ∴点Q1的纵坐标为

311×2+＝， 2223）， 2∴点Q1的坐标为（2，∵P2 Q1//x轴，

∴点P2与Q1的纵横坐标相同，

21

∴﹣x+2＝32， 解得x＝

12， 所以，点P12（2，32），

∵P2Q2⊥x轴，

∴点Q2与P2的横坐标相同， ∴点Q12的纵坐标为

2×1132+2＝4， ∴点Q12的坐标为（2，34）， ∵P3Q2//x轴，

∴点P3与Q2的纵横坐标相同， ∴﹣x+2＝

34， 解得x＝

54， 所以，点P3（54，34）， …，

∵P11（2，0），P2（

2，12），P533（4，4），∴x12，2+2×12＝3，12＝

2 +2×54＝3， ∴xn+2xn+1＝3． 故答案为：xn+2xn+1＝3．

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【点拨】本题考查了两直线相交的问题，根据题意分别求出各个点的坐标是解题的关键．

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