2021年四川省高考文科数学试题及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i为虚数单位，则复数(1+i)= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i

2.设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 3.抛物线y=4x的焦点坐标是

(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin(x(A)向左平行移动

2

2

3)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点

个单位长度 (B) 向右平行移动个单位长度 33(C) 向上平行移动个单位长度 (D) 向下平行移动个单位长度

335.设p:实数x，y满足x>1且y>1，q: 实数x，y满足x+y>2，则p是q的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6.已知a函数f(x)=x-12x的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2

7.某公司为鼓舞创新，打算逐年加大研发奖金投入。若该公司2020年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2020年 (B) 2021年 (C)2020年 (D)2021年

8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

3

(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9

9.已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足大值是 (A)

，则

的最

3763372334349 (B) (C) (D)

444410. 设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于

点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B则则△PAB的面积的取值范畴是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 11、sin7500= 。

12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。学科&网

13、从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则logb为整数的概率= 。

a14、若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0-2y15、在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“相伴点”为P（是原点时，定义“相伴点”为它自身，现有下列命题： 若点A的“相伴点”是点A'，则点A'的“相伴点”是点A. 单元圆上的“相伴点”还在单位圆上。

若两点关于x轴对称，则他们的“相伴点”关于y轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“相伴点”一定共线。 其中的真命题是 。

，

-xx2y2），当P

x2y216、（12分）我国是世界上严峻缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情形进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估量全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估量居民月均用水量的中位数。 17、（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；学科&网 （II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

18、（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（I）证明：sinAsinB=sinC； （II）若bca222cosAcosBsinC。 abc6bc，求tanB。 5+

19、（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项为1， Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N (Ⅰ)若a2，a3，a2+ a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

у222

(Ⅱ)设双曲线x﹣2 =1的离心率为en，且e2=2，求e1+ e2+…+en，

an

2

2

20、（本小题满分13分）

xу1

已知椭圆E：2 +2 =1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(3 ， )在

ab2椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

1

(Ⅱ)设只是原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭

2圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳ 21、（本小题满分14分）

1e2

设函数f(x)=ax－a－lnx，g(x)= －x ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

xe（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

2

2

2021年一般高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）试题参

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4. A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A 二、填空题 11.

311 12. 13. 14.-2 15.②③

326三、解答题

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.

同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.

由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a， 解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，能够估量30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000. （Ⅲ）设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 因此2≤x<2.5.

由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估量居民月均用水量的中位数为2.04吨. 17.（本小题满分12分）

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD‖BC,BC=

1AD，因此BC‖AM, 且BC=AM. 2因此四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB. 又AB 平面PAB,CM  平面PAB, 因此CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点能够是直线MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD, 因为AD∥BC,BC=

1AD，因此直线AB与CD相交， 2因此PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥ BD. 因为AD∥BC,BC=

1AD， 2因此BC∥MD,且BC=MD. 因此四边形BCDM是平行四边形. 因此BM=CD=

1AD，因此BD⊥AB. 2又AB∩AP=A,因此BD⊥平面PAB. 又BD 平面PBD, 因此平面PAB⊥平面PBD.

18.（本小题满分12分） （Ⅰ）依照正弦定理，可设

abck(k0) sinAsinBsinC则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC. 代入

cosAcosBsinC中，有 abccosAcosBsinC，可变形得

ksinAksinBksinAsin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C， 因此sin A sin B=sin C.

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=

6bc，依照余弦定理，有 5b2c2a23cosA.

2bc5因此sin A=1cos2A4. 5由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B， 因此

443sin B=cos B+sin B， 555故tan B=

sinB=4. cosB19.（本小题满分12分） （Ⅰ）由已知，Sn又由S2qS11qSn1,Sn2qSn111, 两式相减得到an2qan1,n1.

1得到a2qa1，故anqan对所有n1都成立.

因此，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列. 从而an=qn1.

由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2因此ana2a3，因此a3=2a2,，故q=2.

2n1(nN*).

qn1.

1an21q2(n1)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，an因此双曲线x2y2an21的离心率en. 由e2e12nne22[11q2en2q22解得q(11)q2(n1)3.因此，

(1+q2)nq2n1q21[1q2(n1)]]，

1n(31).220.（本小题满分13分） （I）由已知，a=2b.

1xy31又椭圆221(ab0)过点P(3,)，故241，解得b21. 2ab24bb22x2y21. 因此椭圆E的方程是4（II）设直线l的方程为y1xm(m0)，A(x1,y1),B(x2,y2) ， 2x2y21,422由方程组 得x2mx2m20，①

y1xm,22方程①的判别式为4(2m)，由，即2m0，解得2m22. 由①得x1x22m,x1x22m22. 因此M点坐标为(m,m1)，直线OM方程为yx， 22x2y21,224),D(2,). 由方程组得C(2,221yx,2因此MCMD又MAMB555(m2)(2m)(2m2). 2241152AB[(x1x2)2(y1y2)2][(x1x2)24x1x2] 441655[4m24(2m22)](2m2). 1因此MAMB=MCMD.

21.（本小题满分14分）

12ax21(x0). （I）f'(x)2axxx当a0时， f'(x)<0，f(x)在内单调递减. （0，+）当a0时，由f'(x)=0，有x1. 2a当x（0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 2a当x（1，+)时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 2ax1（II）令s(x)=ex，则s'(x)=ex11.

x1当x1时，s'(x)>0，因此e11x，从而g(x)=x1>0.

xe（iii）由（II），当x1时，g(x)>0.

当a0，x1时，f(x)=a(x1)lnx0. 故当f(x)>g(x)在区间（，1+)内恒成立时，必有a0. 当0a211时，>1. 22a11)f(1)0,从而g()0， 2a2a由（I）有f(因此现在f(x)>g(x)在区间（，1+)内不恒成立. 当a1时，令h(x)=f(x)g(x)(x1). 211111x32x1x22x11x0. 当x1时，h'(x)=2ax2ex222xxxxxxx因此h(x)在区间（，1+)单调递增.

又因为h(1)=0，因此当x1时，h(x)=f(x)g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立. 综上，a[，+).

12