上海市青浦区2020届高三数学二模

2020.5

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集UR，集合A(,2)，则集合

UA 2. 已知i为虚数单位，复数z2i的共轭复数z 3. 已知函数f(x)11，则方程f1(x)2的解x x4. 若(ax1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是 x2y25. 双曲线1的一个焦点到一条渐近线的距离是 446. 用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球 的表面积是 cm2 7. 已知x,y0且x2y1，则

11的最小值为 xy1是减函数的概率为 x8. 已知平面向量a、b满足a(1,1)，|b|1，|a2b|2，则a与b的夹角为 9. 设a{1,3,5}，b{2,4,6}，则函数f(x)logba10. 已知函数f(x)

xa，若存在实数x0满足f[f(x0)]x0，则实数a的取值范围是

11. 已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x2y上，其中一条边所在直线的斜率为

2，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为 12. 定义函数f(x){x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}2，

{2.3}2，当x(0,n]（nN*）时，函数f(x)的值域为An，记集合An中元素的

个数为an，则an

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知a,bR，则“b0”是“a2b0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺， 小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两 鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度

比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相 逢需要的最少天数为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

x2ny215. 记椭圆1围成的区域（含边界）为n（n1,2,），当点(x,y)分别在

44n11，2，上时，xy的最大值分别是M1，M2，，则limMn（ ）

nA. 25 B. 4 C. 3 D. 22 16. 已知函数f(x)sinx2|sinx|，关于x的方程f2(x)af(x)10有以下结论： ① 当a0时，方程f2(x)af(x)10在[0,2]内最多有3个不等实根； ② 当0a时，方程f2(x)af(x)10在[0,2]内有两个不等实根； 92③ 若方程f(x)af(x)10在[0,6]内根的个数为偶数，则所有根之和为15； 2④ 若方程f(x)af(x)10在[0,6]内根的个数为偶数，则所有根之和为36；

其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ①②③

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，B1AB60. （1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的大小； （2）求异面直线B1C与A1C所成角的大小.

18. 已知函数f(x)[2sin(x)sinx]cosx3sin2x.

（1）若函数yf(x)的图像关于直线xa（a0）对称，求a的最小值； （2）若存在x0[0,

π35π]，使mf(x0)20成立，求实数m的取值范围. 1219. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利. 已知该线路通 车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2t20，tN*，经测算，在某一时 段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时地铁可达到满载状态，载客量为1200 人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与(10t)的平方成正比，且发车时间间隔 为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t).

（1）求p(t)的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q6p(t)3360360（元），问当发车时间

t间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

x2y220. 已知椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，其长轴长是短轴长

ab的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. （1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k0，证明：为定值，并求出这个定值；

（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围.

11 kk1kk221. 对于无穷数列{an}、{bn}，nN*，若bkmax{a1,a2,,ak}min{a1,a2,,ak}，

kN*，则称数列{bn}是数列{an}的“收缩数列”，其中max{a1,a2,,ak}、min{a1,

a2,,ak}分别表示a1,a2,,ak中的最大项和最小项，已知数列{an}的前n项和为Sn，

数列{bn}是数列{an}的“收缩数列”. （1）若an3n1，求数列{bn}的前n项和； （2）证明：数列{bn}的“收缩数列”仍是{bn}； （3）若S1S2的数列{an}.

Snn(n1)n(n1)a1bn（n1,2,3），求所有满足该条件 22参

一. 填空题

1. [2,) 2. 2i 3.

3 4. 2 23 45. 2 6. 16 7. 322 8. 9.

二. 选择题

13. A 14. B 15. D 16. C

三. 解答题 17.（1）arctan18.（1）

3221n(n1) 10. a 11.  12. an

1034262；（2）arccos. 24；（2）m(,2][1,). 12210t200t2002t1019.（1）p(t)，在该时段内发车时间间隔为6分钟时，

120010t20地铁的载客量为1040人；（2）当发车时间间隔为t6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.

11x2338，证明略；（3）m. 20.（1）y21；（2）

kk1kk242221.（1）

3n(n1)；（2）证明略；（3）所有满足该条件的数列{an}的通项公式为2a1ana2

n1，a2a1，nN*. n2