２００９年第５期 河北理科教学研究 问题讨论 运用均值不等式求最值的几种技巧 河北省蔚县第一中学 河北省廊坊师范学院数信学院胡文彬李静０７５７００ ０６５０００ 运用均值不等式求最值时，常常需要根 据不等式的结构，配以适当的变形构造技巧， 方能如愿． 变形构造原理：用公式 旦 二二 ≥、７， （ｎｆ＞０，ｉ＝１……ｎ）求式子Ｆ （ｎ。，…，ｏ ）最值时，要通过（配凑，分离，整 体代换，换元，拆项等）变形技巧，使得Ｆ （ａＩ，…，ａ ）扩大或缩小后构造为 一—旦 —或 ａ戥、／—１ ２ｎ… 刖形 ，具 ａ的形式，其代 数值正好是常数（最值）．现举例说明几种常 见的变形构造技巧． １配凑 例１当０＜ ＜３时，求Ｙ： （６—２ ） 的最大值． 分析： ＋（６—２ｘ）不是定值，故只需将 ： （６—２ ）凑上一个系数，使和为定值． 解：Ｙ＝ （６—２ｘ）＝ １［２ｘ・（６—２ｘ）］≤ ’ ［ ，） ］ ：９一 ９ ’， Ｊ＝当且仅当２ ：６—Ｌ ｌ＾ 一 ２ｘ，即 ＝ 时取等号，当 ＝ ３时，函数ｙ ： （６—２ｘ）有最大值为 ． 例２已知 ＞ｌ，求ｙ＝ ＋— 的最 小值． 分析： ‘ 不是定值，但可以通过配 凑解决． 解：ｙ＝ ＋ ＝ 一１＋ １＋ｌ≥２ √（ —１） ＋１＝３当且仅当 一１＝击， 即 ＝２时，取等号．．．．当 ＝２时， ｍｉｎ＝３． ２分离 例３ 已知 ≥昔，则ｆ（ ）＝ 有（ ）． （Ａ）最大值丢（Ｂ）最小值丢 （ｃ）最大值１ （Ｄ）最小值１ 分析：本题看似无法使用均值不等式，但 对函数式进行分离，便可创造运用均值不等 式的条件． 解：ｙ： 一４ｘ＋５ （ 一２） ＋１ ２ 一４ — ２（ 一２） 一 ＿厶 ｝［（ 一２）＋— ］≥１，当且仅当 一２＝ 一‘ １ ，即 ＝３时，等号成立，故选Ｄ． 例４ （２００８年全国高考题）设△ＡＢＣ 的内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边长分别为ｏ，ｂ，ｃ， 且ａｃｏｓＢ—ｂｃｏｓＡ＝导ｃ． １】 （１）求ｔａｎＡ ｃｏｔＢ的值；（２）求ｔａｎ（Ａ— Ｂ）的最大值． 解：（１）易解得ｔａｎＡ ｃｏｔＢ＝４；（２）由（１） 得ｔａｎＡ＝４ｔａｎＢ，故Ａ，Ｂ都是锐角，于是 ｔａｎＢ＞０，ｔａｎ（Ａ—Ｂ）＝ ・ ２３ ・ ２００９年第５期 河北理科教学研究 问题讨论 １＋３ ａｔａｎ ｎＢ４ｔ ２曰一上： —＋４ｔａｎ ３＿～≤丢，４’且 且当ｔＬｄ儿。 ｔａｎＢ。…… ＝｛时，上式取等号．因此ｔａｎ（Ａ—Ｂ）的最 大值为｛． ３整体代换 例５已知 ＞０，Ｙ＞０，且 ＋２：１， 求 ＋Ｙ的最小值． 分析：本题解法较多，下面给出用均值不 等式的两种解法． 解法一：．．．一８＋一２：１ ． ＋Ｙ：（ ＋ Ｙ Ｙ ｙ）（ ＋号）Ｘ ｖ Ｘ： ＋ ｖ ＋ ０≥２√ ×等＋、 Ｘ ｖ １０：１８，当且仅当 ： ，即 ：２１，时“：” 成立．由 十 ：１，得 ：１２，Ｙ：６ ．当 二ｙ ＝１２，Ｙ＝６时， ＋Ｙ最小，最小值为ｌ８． 解法二：由 ＞０，Ｙ＞０， ＋ ：１得 Ｙ ＞８，Ｙ＞２且 一２ 一８ｙ＝０，即（ 一８）（Ｙ 一２）＝１６，．・． ＋Ｙ＝（ 一８）＋（Ｙ一２）＋ｌ０ ＞２、ｉ 研＋１０＝２ ＋１０＝ １８，当且仅当 一８＝Ｙ一２，即Ｙ＝ 一６时 “：”成立．由 十２：１，得 ：１２，Ｙ：６． Ｙ ・．．当 ＝１２，Ｙ＝６时， ＋Ｙ最小，最小值为１８． ４换元 例６求函数ｙ＝ 等的最大值． 解：令ｔ＝￣／ｒ ＋２，则 ＝ｔ 一２（ｔ≥０）， ｙ： 专 （￡≥０），当 ０时，ｙ：０，当 ＞０ 吼 走≤衣 ， ２ｔ＝＿硼＿１，即 ＝ 时，取“＝” ． ：一号时， 函数取得最大值 ． 评注：本题通过变量代换，使问题得到了 简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数 的最值问题，从而为运用均值不等式创造了 条件． ５拆项 例７设 ＞０，求函数ｖ＝２＋ ＋ 的 最小值． 分析：可将 拆成鲁＋鲁，然后用均值 不等式求解． 解：’．’ ＞ｏ ．），＝２＋ ＋ ４＝２十号＋ 专＋ ４≥２＋３×ｘ ｘ ４ｊ＝５，当且仅当 要： ４，即 ：２时，上式取等号＿．．．函数Ｙ ＝２＋ ＋ 的最小值为５． 例８ 已知 ∈（０， ），求Ｙ：ｓｉｎ２ ＋ ÷的最小值． 分析：本题虽有ｓｉｎ２ ∈（０，１］，ｓｉｎ２ ・ 为定值，但ｓｉｎ２ ＝ 不可能成立， Ｓ１ｎ ｓｉｎ 故可通过拆项来满足等号成立的条件． 解：Ｙ＝ｓｉｎ２ ＋ ３＝ｓｉｎ２ ＋ ） Ｓｌｎ Ｓ１ｎ ＋ ≥２￣／ｓｉｎ２ｘ＂１ ＋Ｔ２＝４，当且仅 当ｓｉｎ２ ＝ ｓｉｎ己ｘ ，且 ｓ１ｎ厶Ｘ ＝２，即ｓｉｎ２ ＝１， ： 时等号成立，故函数有最小值４． 总之，利用均值不等式求最值时，要有 意识地运用变形构造原理，创造条件，找到 最值，同时，还要注意“一正、二定、三相 等”的原则，保证运算正确．
