最新版,二面角求法及经典题型归纳

一：知识准备

1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°]

4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直

5、平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？

二：二面角的基本求法及练习

1、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这

a两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，

这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

O本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM

B—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；

在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条A垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求 （1）二面角A（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。

D1A1B1C1B1CA1的大小；

DABC

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例2:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。

练习：过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a，求二面角

BPCD的大小。

PADBC

2、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂

线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点

与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。 例1．平面ABCDEF的中点，

（1）求证：平面AGC（3）求二面角B平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形且AF=

1AD=a，G是2平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；

ACG的大小。

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例2．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAB是正三角形，

PABC。

（1）求证：平面PAB（2）求二面角P平面ABC；

ACB的大小。

PABC

例3.如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。

练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A小。

C1D1A1B1BD1P的大

CDPAB

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3．无棱二面角的处理方法 （1）补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例1．过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a，

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。

例2．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是

CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

例3．如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。

例4、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。

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（2）射影面积法（coss射影S）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosS射S斜）求出二面角的大小。

例1：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。

例2．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱AA1的中点，求平面PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。

例3如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M

与底面ABCD所成二面角。

例4．如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小； PCAC．

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4、垂面法:

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

例如：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。

例1．SA平面ABC，ABBC，SAABBC，

（1）求证：SBBC； （2）求二面角CSA （3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

B的大小；

PADBC

例2、如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。 （1）求证：A1、E、C、F四点共面；（2）求二面角A1-EC-D的大小。

例3、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。

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5、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量a、b，

有cos＜a，b＞=问题．

ab|a||b|．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的

例1.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，依题意 得AB= (0，1，0)，是面VAD的法向量， 设n= (1，y，z)是面VDB的法向量，则

y1,3nVB0,= (1，－1，－)。 n33nVB0.z3z V D A x 21 7C B y ∴cos＜AB，n＞

ABn|AB||n|=－

21， 7又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，所以其余弦值是

例2.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB =90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．

⑴求证CD⊥平面BDM；

⑵求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值．

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A D C B A1

C1 M B1

例3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．求二面角C—PB—D的大小

三、几点说明：

1、定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。

2、三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。

3、垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。 4、以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。

5、射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。

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