2010年高考数学试卷_全国卷II(理科)

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2010年普通高等学校招生全国统一考试试题卷

理科数学

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）

3i（1）复数=

1i2（A）－3－4i

（2）函数y =

（B）－3 + 4i （C）3－4i （D）3 + 4i

1ln(x1)2 (x > 1)的反函数是

（B）y = e2x11(x > 0) （D）y =e2x11(x∈R )

（A）y = e2x1－1 (x > 0) （C）y = e2x1－1 (x∈R )

x1（3）若变量x , y满足约束条件yx，则z = 2x +y的最大值为

3x2y5（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（4）等差数列{an}中，a3 + a4 + a5 =12，则a1 + a2 +…+ a7 =

（A）14 （B）21 （C）28

（5）不等式

xx6x12 （D）35

> 0的解集为

（B）{ x | x <－2 ,或1（A）{ x | x <－2 , 或x >3} （C）{ x |－2 3}

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入三个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有

（A）12种 （B）18种 （C）36种

（7）为了得到函数y = sin(2x－

（A）向左平移（C）向左平移

（8）△ABC中，点D在边AB上，CD

平分∠ACB，若CB= a，CA （D）54种

3)的图像，只需把y = sin(2x +

6)的图像

44个长度单位 个长度单位

（B）向右平移（D）向右平移

个长度单位 个长度单位

22= b，|a| = 1，|b| = 2，

1

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则CD=

（A）

（9）已知正四棱锥S－ABCD中，SA = 23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

（A）1

（10）若曲线y =x（A）

1213a +2b

3 （B）

23a +1b

3（C）a +

5345b

（D）

45a +3b

5 （B）3 （C）2 （D）3

在点(a , a

12)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =

（C）16

（D）8

（B）32

（11）与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个 （C）有且只有3个

（12）已知椭圆C：

xa22

yb22

（B）有且只有2个 （D）有无数个

32= 1（a > b > 0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)

的直线与C相交于A、B两点，若AF= 3FB，则k =

（A）1

（B）2 （C）3 （D）2

二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

（13）已知是第二象限的角，tan(+2) =－（14）若(x－

ax43，则tan =

) 9的展开式中x3的系数是－84，则a =

2

（15）已知抛物线C：y = 2px（p > 0）的准线为l，过M(1 , 0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM= 3MB，则p =

（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB = 4，若OM = ON = 3，则两圆圆心的距离MN =

三．解答题（本题共6个小题，共70分）

（17）（本小题满分10分）

△ABC中，D为边BC上的一点，BD = 33，sinB =

513，cos∠ADC =，求AD .

53

（18）（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Sn = (n+ n)·3 （Ⅰ）求limn2 n

anSn

2

（Ⅱ）证明：

a112+

a222+…+

ann2> 3n

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（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC = BC，AA1 = AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE = 3EB1.

C C1

（Ⅰ）证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45o，求二

面角A1－AC1－B1的大小.

B D E B1

A

A1

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中，有四个电子元件，分别标为T1，T2、T3，T4，电流能通过T1，T2、T3的概率都是p，电流通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互，已知T1，T2、T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999 .

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M、N之间通过的概率；

（Ⅲ） 表示T1，T2、T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望.

（21）（本小题满分12分）

已知斜率为1的直线l与双曲线C：且BD的中点为M(1 , 3).

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF| = 17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.

（22）（本小题满分12分）

设函数f (x) = 1－ex

（Ⅰ）证明：当x >－1时，f (x) ≥（Ⅱ）设当x ≥0时，f (x) ≤

xax1xx1T1

M

T2

T4

T3

N

xa22yb22= 1（a > 0，b > 0）相交于B、D两点，

；

，求a的取值范围.

3