2006年6月第22卷第2期
纯粹数学与应用数学PureandAppliedMathematics
Jun.2006
Vol.22No.2
矩阵和H-矩阵在FM-an积下
的Oppenheim型不等式
▋
程光辉,成孝予,黄廷祝
电子科技大学应用数学学院,四川成都(
610054)
摘
要:矩阵和H-矩阵在数学物理、经济学、数学规划等领域中有广泛的应用.对M-于一般的M-矩阵,是否成立著名的Op文[给出了答案.本文建1]penheim型不等式,
立了一个M-矩阵和一个H-矩阵在Fan积下的Oppenheim型不等式.
关键词:矩阵;矩阵;行列式;M-H-Oppenheim不等式;Fan积
中图分类号:51.21文献标识码:1008-5513(2006)02-0253-03O1A文章编号:
1定义和记号
n,n记n阶Z矩阵集合为Z则Z矩阵定义为-,-n,n
n,n
)∈R|a,i≠j,i,j=1,2,…,nZ={(a}ijij≤0若B=(则称B为非负矩阵;若A=tb),I-B,B为非负矩阵;t≥ρ(B)(t>ρ(B))),ijn×n≥0则称A为一般M-矩阵(非奇M-矩阵)ρ(B)表示非负矩阵B的谱半径,.
n,n
若矩阵A=(则|设A∈C称|为a),A|=(|a|);,D=diagA,A=D-C,D|-|C|ijij
且记为<若<阵,则称A为H-阵,类似地定义一般H阵和非奇H-A的比较矩阵,A>.A>为M-n,n[2]
阵.设A=(其中a),B=(b)∈C,A与B的Fan积定义为A·B=C=(c),ijijij
bi=j=aiiii
c=b≠j=-aijiji矩阵和H-矩阵在F2M-an积下的Oppenheim型不等式
[2]
引理1为n阶复方阵集合)(Schur)设A∈Mn(C)(Mn(C),A=
=AB)kk
其中,,Ak∈D=C)kk
▋收稿日期:2004-10-12.
作者简介:程光辉(博士,研究方向:数值代数、科学计算中的大型矩阵及其应用.1979-),
254
则Mk(C)(1≤k≤n-1)非奇,
纯粹数学与应用数学
第22卷
detA=(detA)detA/A)kk
-1
余DchurA.A/Ak表示Sk-CkkKB
[3]
引理2若A为M-矩阵,则A的所有主子阵也为M-矩阵.引理3若A为H-矩阵,则A的所有主子阵也为H-矩阵.
因为<阵,由引理2可知<阵,故可知A的所有主子A>为M-A>的主子阵仍为M-矩阵.阵也为H-引理4若A为H-矩阵,且a则d,etA>0.ii>0
因为A为H-矩阵,故存在正对角阵D,使得A并有D为严格对角占优矩阵,
又因a由G即ddiag(AD)>0.,erschgorin圆盘定理知det(AD)>0,etA>0.ii>0
[3]
引理5设A为一般M-矩阵,矩阵,则C为一般H-矩阵.B为一般H-C=A·B,下面,证明当一个M-矩阵和一个H-矩阵作Fan积的Oppenheim型不等式.
证明
证明
定理
n,nn,n
设A∈Z为M-矩阵,矩阵,且b则B∈R为H-,ii>0
n
det(A·B)≥
证明
detA(∏b)ii
i=1
(1)
若A为奇异的,则由引理4因此,假设A非奇.,5易知(1)式成立.
用数学归纳法:n=1时,(1)式显然成立.设结论对n-1阶成立,对于n阶M-矩阵A和H-矩阵B将A,,B分块为
A=
其中
t
,a,…,a,a,…,aaaα1=(2=(1n2nn-1,nn1n2n,n-1),α)tb,b,…,bb,b,…,bβ1=(2=(1n2nn-1,nn1n2n,n-1),β)tt
=An-1
t
2=α
α)1a)nn
B=
=Bβ)1n-1
t
2=β
b)nn
易知,由A非奇M-矩阵,有A为非奇M-矩阵.记n-1
F=
=An-1
t
2=α
-1
)=I0)=I)=A0)n-1Aα1n-1n-1n-1
=t-1
t-1αAαA1=00)212=01))=α)n-1n-1
α1
n,n
因而d由A为非奇M-矩阵及F∈Z有F为奇异M-矩阵.因此,由引理5知FetF=0,,n-1
矩阵,所以·B为H-=Aα)1└┐n-1
=Bβ)1n-1
0≤det(F·B)=detdetA·tt
αaβb22nn-=)nn
detAL┘=)n-1
Bn-1·n-1=A=det=-abn1n1
…-abn,n-1n,n-1
-ab1n1n)⋮-abn-1,nn-1,n
abnnnn
-
)第2期
程光辉等
矩阵和H-矩阵在FM-an积下的Oppenheim型不等式255
Bn-1·n-1=Adet=-abn1n1
…-abn,n-1n,n-1
0⋮0
)detAbnn
detAn-1)detA=det(A·B)-det(AB)bn-1·n-1nn
detAn-1
由(2)式得
detAdet(A·B)≥det(AB)bn-1·n-1nn
detAn-1
于是,由归纳假设和(3)式有
detAdet(A·B)≥(bdetAbiin-1ii=)∏detAn-1i=1
n-1
n
(2)
(3)
detA(∏b)ii
i=1
有了上面和文[我们自然会想到对H-矩阵的Op1]中的定理,penheim不等式是否成立,
下面的例子说明对H-矩阵不成立.
例
设A=
2
(4-34
5
),B=
()24
21
,A·B=
(83
-820
)显然A矩阵,且易,,B均为H-2
知d则有detA=32,,det(A·B)=184,et(A·B)i=1即对H-矩阵的detA,(∏b)ii
i=1
Oppenheim不等式不成立.
参
考
文
献
矩阵的Op应用科学学报,[1]黄廷祝.].1996,14(3):369-371.M-penheim型不等式[J
[2]Mi[.P:ncH,MarcusM.ASurveyofMatrixTheoryandMatrixInequalitiesM]rindleWeber&,19.Schmidtpress
陈向晖.特殊矩阵[北京:清华大学出版社,[3]陈景良,.2001.M]
Anoppenheim-typeinequalityofaM-matrixanda
anproductH-matrixundertheF
-,C--,HUANGThuiCHENGGuangHENGXiaoyuingzhu
(,UnSchoolofAppliedMathematicsiversityofElectronicScience
,C10054,)andTechnologyofChinahengdu6China
:AbstractInthispaperwegiveageneralizationofanOppenheim-typeinequalityofaM-ma-.trixandaH-matrixundertheFanproduct
:,H-,d,o,fKeywordsM-matrixmatrixeterminantppenheim-typeinequalityanproduct2000MS:158,152,157CA1A4A5
