达州市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学

达州市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至10页。考试时间120分钟，满分120分。

第I卷（选择题，共30分）

温馨提示：

1、答第I卷前，请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上。 2、每小题选出正确答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑。 3、考试结束后，请将本试卷和机读卡一并交回。

一．选择题：（本题10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的） 1．－2013的绝对值是（ ）

A．2013 B．-2013 C．±2013 D．1 2013答案：A

解析：负数的绝对值是它的相反数，故选A。

2．某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元。这一数据用科学记数法表示为（ ）

A．213103元 B．2.13104元 C．2.13105元 D．0.213106元 答案：C

解析：科学记数法写成：其中1a10，二十一万三千元＝213000＝2.13105a10形式，元

3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

n

答案：D

解析：A、C只是轴对称图形，不是中心对称图形；B是中心对称图形，不是轴对称轴图形，

只有D符合。

4．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%。那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 答案：C

解析：设原价a元，则降价后，甲为：a（1－20%）（1－10%）＝0.72a元，

乙为：（1－15%）2a＝0.7225a元，丙为：（1－30%）a＝0.7a元，所以，丙最便宜。

5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）

A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3） 答案：C

解析：因为太阳从东边出来，右边是东，所以，早上的投影在左边，（3）最先，下午的投

影在右边，（2）最后，选C。 6．若方程3x26xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

答案：B

解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以，△＝36－12m＞0，得m＜3，故选B。 7．下列说法正确的是（ ）

A．一个游戏中奖的概率是

1，则做100次这样的游戏一定会中奖 100B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1

22D．若甲组数据的方差S甲0.2，乙组数据的方差S乙0.5，则乙组数据比甲组数据

稳定 答案：C

解析：由概率的意义，知A错；全国中学生较多，应采用抽样调查，故B也错；经验证C

正确；方差小的稳定，在D中，应该是甲较稳定，故D错。 8．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=3003米，则这段弯路的长度为（ ）

A．200π米 B．100π米 C．400π米 D．300π米 答案：A

解析：CF＝300，OF＝3003，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°， OC＝600，因此，弧CD的长为：

60600＝200π米

160

9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B

解析：由勾股定理，得AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分，所以，

DE一定经过AC中点O，当DE⊥BC时，DE最小，此时OD＝所以最小值DE＝3

10．二次函数yaxbxc的图象如图所示，反比例函数y同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）

23，2b与一次函数ycxa在x

答案：B

解析：由二次函数图象，知a＜0，c＞0，b＞0，所以，b＞0， 2a所以，反比例函数图象在一、三象限，排除C、D，直线y＝cx＋a中，因为a＜0，所以，

选B。

第II卷（非选择题，共90分）

二．填空题：（本题6个小题，每小题3分，共18分。把最后答案直接填在题中的横线上） 11．分解因式：x39x=_ _. 答案：x（x＋3）（x－3）

解析：原式＝x（x2－9）＝x（x＋3）（x－3）

12．某校在今年“五²四”开展了“好书伴我成长”的读书活动。

为了解八年级450名学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生本学期读书册数，并将统计数据制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册数等于3册的约有 名。 答案：162 解析：读书册数等于3的约占比例：1－6%－24%－30%－6%＝36%， 36%³450＝162

13．点x1,y1、x2,y2在反比例函数yk的图象上，当x1x20时，y1y2,则k的x取值可以是___ _（只填一个符合条件的k的值）.

答案：－1

解析：由题知，y随x的增大而增大，故k是负数，此题答案不唯一。

x21214．如果实数x满足x2x30，那么代数式的值为_ _. x1x12答案：5

x22x2解析：由知，得x2x＝3，原式＝(x1)x22x2＝5。

x1215．如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、

BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x 的取值范围是 . 答案：2≤x≤6

解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，

83612y（(0y)，当y＝0

38时，x取最大值为6；当y＝时,x取最小值2，故有2≤x≤6

3x2＋y2＝（6－y）2，即x

16．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和

∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；„∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度。

答案：

m22013

解析：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，

∴∠ACD=k∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，

而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，

∴∠A=2∠A1，∴∠A1=

m， 2

同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，∴∠A2=所以，猜想：∠A2013=

m， 22m22013

三．解答题（72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）（本题2个小题，共13分） 17．（6分）计算：

20112tan60

32解析：原式＝1＋23－3＋9＝10＋3

18．（7分）自古以来就是中国领土。中国有关部门已对及其附属岛屿开展常

态化监视监测。如图，E、F为东西两端。某日，中国一艘海监船从A点向正北

方向巡航，其航线距离最近距离CF=203公里，在A点测得最西端F在最东端E的东北方向（C、F、E在同一直线上）。求东西两端的距离。（21.41，31.73，结果精确到0.1） 解析：

由题知，在Rt△ACF中，∠ACF=90°, ∠A=30°，CF=203公里. ∴cot30°=

AC. 203解得，AC=60（公里）.………………………(2分) 又∵E在B的东北方向，且∠ACF=90° ∴∠E=∠CBE=45°，

∴CE=CB.………………………………………………(4分) 又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里)， ∴CE=38公里.………………………(5分)

∴EF=CE-CF=38-203≈3.4（公里）………………………(6分) 答：东西两端的距离约为3.4公里.………………………(7分)

（二）（本题2个小题，共14分） 19．（7分）已知fx1，则

xx1

f1f2„„

11

1111211

2212314，求n的值。 15已知f1f2f3fn解析：由题知

f(1)+f(2)+f(3)+„+f(n) =

1111+++„+ 122334n(n1)1111111+-+-+„+-

22334nn11………………………

=1-(4分）

n1n………………………=.(4分） n114又∵f(1)+f(2)+f(3)+„+f(n)=,

15n14∴=. n115=1-解得n=14.………………………(6分） 经检验，n=14是上述方程的解. 故n的值为14.………………………(7分）

20．（7分）某中学举行“²我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去，

于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽。

这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明。 解析：公平.………………………(1分)

用列表法或树状图列出该事件的等可能情况如下：

由此可知该事件共有12种等可能结果.(4分) ∵四张卡片中，A、B中的算式错误，C、D中的算式正确，

∴都正确的有CD、DC两种，都错误的有AB、BA两种.………………………(5分)

………………………

21=， 12621学习委员去的概率P（学习委员去）==，

126∴班长去的概率P（班长去）=

P（班长去）=P（学习委员去)

∴这个游戏公平.………………………(7分)

（三）（本题2个小题，共16分） 21．（8分）已知反比例函数yk1的图象与一次函数yk2xm的3x图象交于A1,a、B,3两点，连结AO。

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标。 解析：

13k11的图像过点（，-3）， 3x31∴k1=3xy=3³³(-3)=-3.

31∴反比例函数为y.………………………(1分）

x1∴a==1，

1(1)∵y=

∴A（-1,1）.………………………(2分）

k2m1,∴1km3.

23解得k23,

m2.

∴一次函数为y=-3x-2.………………………(4分） 16、C(0,2)、………………………(5分） 或（0，-2）、………………………(6分） 或（0,1）、………………………(7分） 或（0，2）.………………………(8分）

22．（8分）选取二次三项式axbxc a0中的两项，配成完全平方式的过程叫配

2方。例如

①选取二次项和一次项配方：x24x2x22； ②选取二次项和常数项配方：x4x2x2 或x③选取一次项和常数项配方：x2222224x，

4x2x2422x 4x22x2x

2222根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出x28x4的两种不同形式的配方； （2）已知xyxy3y30，求xy的值。 解析：：（1）x28x4＝x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12 或x28x4＝（x-2）2-4x

22x2yxy23y30y3(x)2(y2)2024(2)

X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=1

（四）（本题2个小题，共17分）

23．（8分）今年，6月12日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。

（1）小华的问题解答：

解析：（1）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得 （x-2)（500-

x3³10）=800 .………………………(2分） 0.1整理得：x2-10x+24=0.

解之得：x1=4,x2=6.………………………(3分）

∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2³240%=4.8（元）. ∴x2=6不合题意,舍去,得x=4.

答：应定价4元/个，才可获得800元的利润.………………………(4分） （2）解：设每天利润为W元，定价为x元/个，得 W=（x-2)(500-

x3³10) 0.1=-100x2+1000x-1600

=-100(x-5)2+900.………………………(6分）

∵x≤5时W随x的增大而增大,且x≤4.8， ∴当x=4.8 时，W最大，

W最大=-100³（4.8-5)2+900=6＞800 .………………………(7分）

故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大.………………………(8分）

24．（9分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

FF

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接

EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。 ∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据__SAS__________，易证△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，

∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_互补___时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。 解：BD2+EC2=DE2

解析：(1)SAS………………………(1分）

△AFE………………………(2分） (2)∠B+∠D=180°………………………(4分） (3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分） ∵AB=AC，

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.

∵△ABC中，∠BAC=90°.

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°. ∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分） 在△AEG与△AED中,

∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD, 又∵AD=AG，AE=AE， ∴△AEG≌△AED. ∴DE=EG.又∵CG=BD,

∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）

（五）（本题12分）

25．如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，

AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。

（1）求证：CD是⊙M的切线；

（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点

Q，使SQAM1SPDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明6理由。

解析：（1）证明：连结CM. ∵OA 为⊙M直径, ∴∠OCA=90°. ∴∠OCB=90°. ∵D为OB中点, ∴DC=DO.

∴∠DCO=∠DOC.………………………(1分） ∵MO=MC,

∴∠MCO=∠MOC.………………………(2分）

∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3分） 又∵点C在⊙M上，

∴DC是⊙M的切线.………………………(4分） （2）解：在Rt△ACO中,有OC=OAAC. 又∵A点坐标（5，0）, AC=3, ∴OC=5232=4.

22OCOB. ACOA4OB20∴.解得 OB=. 353∴tan∠OAC=

又∵D为OB中点，∴OD=D点坐标为（0，

10. 310………………………

).(5分） 3连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b,则有

10b,10b,3j解得 325kb0.k.3

210x+. 335∵二次函数的图象过M（,0)、A(5,0)，

215………………………

∴抛物线对称轴x=.(6分）

41515∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P,

44∴直线AD为y=-∴PD+PM为最小.

又∵DM为定长，

∴满足条件的点P为直线AD与直线x=当x=

15的交点.………………………(7分） 415215105时,y=-+=. 43436155………………………

故P点的坐标为（，）.(8分）

46（3）解：存在.

∵S△PDM=S△DAM-S△PAM

11AM²yD-AM²yP 221=AM(yD-yp). 2110155S△QAM=AM²yQ,由（2）知D（0，),P(，）,

234611055………………………∴³（-）=yQ 解得yQ=±(9分） 636125∵二次函数的图像过M(0，)、A(5，0），

25∴设二次函数解析式为y=a(x-)（x-5).

210又∵该图象过点D（0，)，

35104a³(-）³(-5)=，a=.

231545∴y=(x-)(x-5).………………………(10分）

1525又∵C点在抛物线上，且yQ=±，

12455∴(x-)(x-5)=±. 15212=

解之，得x1=

1552155215，x2=，x3=. 444

∴点Q的坐标为（

1552155255155…………

，)，或（，)，或（，-）.(12分） 441212412