2021无锡高二下期末数学试题与解析

原卷：

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知复数z＝2＋i，在复平面内z(1﹣i)对应点的坐标为A．(3，1)B．(﹣3，1)C．(3，﹣1)D．(﹣3，﹣1)2．一个小球从5米的高处自由下落，其运动方程为y(t)4.9t2，则t＝1秒时小球的瞬时速度为A．﹣9.8米/秒B．﹣4.9米/秒C．9.8米/秒D．4.9米/秒3．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝1513k，k＝1，2，3，4，5，则P(X＜3)＝15A．B．C．12D．234．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为A．23B．63C．62D．335．若(1x)(12x)8a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为A．29B．291C．39D．3916．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有A．72种B．54种C．36种D．27种7．已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示，则下列说法一定正确的是A．x[0，a]时，f(x)的值为常数B．x[a，c]时，f(x)单调递减C．x＝d时，f(x)取得极小值D．x＝c时，f(x)取得最小值8．现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为赛的概率为A．1813，甲队接发球赢球的概率为，在比分为24：24平且甲队发球的情况下，甲队以27：25赢下比25B．320C．310D．720二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列复数z满足“kN，使得znkzn对nN都成立”的有A．z＝i13B．zi22C．z＝1﹣iD．z22i2210．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是A．事件B与事件C是互斥事件C．P(C)＝1330B．事件A与事件C是事件D．P(C|A)＝1211．老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(44，4)，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(33，16)，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是A．若乘坐线路B，18:00前一定能到家B．乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样C．乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大D．若乘坐线路A，则在17:48前到家的可能性不超过1%12．已知曲线f(x)ex(2xa)在点(0，2)处的切线为l，且l与曲线g(x)x24xb也相切．则A．a＝bB．存在l的平行线与曲线yf(x)相切C．任意x(﹣2，)，f(x)g(x)恒成立D．存在实数c，使得g(x)cf(x)任意x[0，)恒成立三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）c6213．(x)的展开式中常数项是240，则实数c的值为x．14．有A，B两盒完全相同的卡片，每盒3张每次等可能的从A，B两个盒子中随机取出一张，当A盒卡取完时，B盒恰好剩1张的概率为．．；令15．函数f(x)(x1)33ln(x1)的单调减区间为16．一个班级有30名学生，其中10名女生，现从中任选3名学生当班委，则女生小红当选的概率为X表示3名班委中女生的人数，则P(X≤2)＝．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z1m(4m2)i，z22cos(3sin)i(，，mR)．（1）当m＝﹣1时，z1是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值；（2）若z1z2，求的取值范围．18．（本小题满分12分）某地区2014至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2022年生活垃圾无害化处理量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：19．（本小题满分12分）为了调查人民群众对物权法的了解程度，某地民调机构举行了物权法知识竞答，并在所有答卷中随机选取了100份答卷进行调查，并根据成绩绘制了如图所示的频数分布表．（1）将对物权法的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“群众对物权法的了解程度”与性别有关？（2）若用样本频率代替概率，用简单随机抽样的方法从该地抽取20名群众进行调查，其中有r名群众对物权法“比较了解”的概率为P(X＝r)(r＝0，1，2，…，20)，当P(X＝r)最大时，求r的值．20．（本小题满分12分）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°．（1）求异面直线AD1与A1B所成角的余弦值；（2）求三棱锥A1—ABD的体积．21．（本小题满分12分）某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结果）．甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为2125，甲输的概率为q，且三局比赛均没有出现平局的概率为．3216（1）求三场比赛乙至少赢两局的概率；（2）若该单位为每局比赛拿出1百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人平分奖金．设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为X（单位：百元），求X的分布列及其数学期望．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)cosxexax，aR．（1）若f(x)在(0，)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）当a＝0时，求证f(x)1在x(，)上恒成立．22答案解析：

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知复数z＝2＋i，在复平面内z(1﹣i)对应点的坐标为A．(3，1)【答案】C【解析】z(1﹣i)＝(2＋i)(1﹣i)＝3﹣i，故选C．2．一个小球从5米的高处自由下落，其运动方程为y(t)4.9t2，则t＝1秒时小球的瞬时速度为A．﹣9.8米/秒【答案】A【解析】y(t)9.8t，y(1)9.8，故选A．3．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝1513k，k＝1，2，3，4，5，则P(X＜3)＝15B．(﹣3，1)C．(3，﹣1)D．(﹣3，﹣1)B．﹣4.9米/秒C．9.8米/秒D．4.9米/秒A．B．C．12D．23【答案】A1【解析】P(X＜3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝，故选A．54．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为A．23B．63C．62D．33【答案】B【解析】设点A到平面PBD的距离为h，则四棱锥的体积为：则h6．选B．35．若(1x)(12x)8a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为A．29【答案】D【解析】令x＝0，得x01，B．291C．39D．391令x＝2，得391a12a222a929，所以a12a222a929＝391．6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有A．72种【答案】B1323A3C32A2A354．【解析】C3B．54种C．36种D．27种7．已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示，则下列说法一定正确的是A．x[0，a]时，f(x)的值为常数B．x[a，c]时，f(x)单调递减C．x＝d时，f(x)取得极小值D．x＝c时，f(x)取得最小值【答案】C【解析】x(c，d)时，f(x)＜0；x(d，e)时，f(x)＞0，所以x＝d时，f(x)取得极小值．选C．8．现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为赛的概率为A．1813，甲队接发球赢球的概率为，在比分为24：24平且甲队发球的情况下，甲队以27：25赢下比25B．320C．310D．720【答案】B【解析】由比分可知甲需胜3局，输1局，且甲第四局胜，第1局或第2局输，131111313故．2522225220二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列复数z满足“kN，使得znkzn对nN都成立”的有A．z＝i13B．zi22C．z＝1﹣iD．z22i22【答案】ABD【解析】即求2k1，满足条件的是ABD．10．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是A．事件B与事件C是互斥事件C．P(C)＝【答案】CD1111P(AC)951C3C3C2C213．【解析】P(C)1111，P(CA)P(A)3032C5C6C5C630B．事件A与事件C是事件D．P(C|A)＝12133011．老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(44，4)，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(33，16)，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是A．若乘坐线路B，18:00前一定能到家B．乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样C．乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大D．若乘坐线路A，则在17:48前到家的可能性不超过1%【答案】BCD1P(25Z45)＝0.0013，故A错误；2【解析】对于A，P(B≥45)＝对于B，P(B≤41)＝1P(25Z41)＋P(25Z41)＝0.9772，2P(A≤48)＝1P(25Z41)＋P(40Z48)＝0.9772，故B对；21P(29Z37)1＋P(29Z37)＝0.8413，P(A≤44)＝＜0.8413，故C对；22对于C，P(B≤37)＝对于D，P(A≤38)＝1P(38Z50)＝0.0013＜0.01，故D对．212．已知曲线f(x)ex(2xa)在点(0，2)处的切线为l，且l与曲线g(x)x24xb也相切．则A．a＝bB．存在l的平行线与曲线yf(x)相切C．任意x(﹣2，)，f(x)g(x)恒成立D．存在实数c，使得g(x)cf(x)任意x[0，)恒成立【答案】AC【解析】由于f(x)过(0，2)，将(0，2)代入，求得a＝2；对f(x)求导，代入点(0，2)求出f(x)的斜率为4，切线为y＝4x＋2，由于该切线l也与g(x)相切，对g(x)求导，得到g(x)2x4，令g(x)＝4，得x＝0，则g(x)同时过(0，2)代入得到b＝2，则a＝b＝2，A正确；过一点，仅有一条直线与已知曲线相切，B错误；f(x)ex(2x4)，f(x)在(﹣2，)单调增，f(2)2g(x)(x2)22，g(x)在(﹣2，)上单调增，2，ef(2)g(2)；在(0，)上，f(0)4g(0)2，且f(x)ex(2x4)随x增大变化较大，当x趋近于，则f变化的比g快，f与g表示的函数f更大，因此，不存在足够大的实数c，使得g(x)cf(x)，D错误．故AC正确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）c6213．(x)的展开式中常数项是240，则实数c的值为x．【答案】48【解析】在该式展开的常数项中，由于二次项的项数分别为x2与c，只有当x的系数为0时，该展开项才是常数项，xc只有x2这一项为二次方，为四次方时，此时常数项为Cc4240，由于c为正实数，所以c＝48．x的系数才为0，x14．有A，B两盒完全相同的卡片，每盒3张每次等可能的从A，B两个盒子中随机取出一张，当A盒卡取完时，B盒恰好剩1张的概率为．【答案】3104C32C32A43．【解析】6A61015．函数f(x)(x1)33ln(x1)的单调减区间为【答案】(1，2)【解析】对f(x)求导：．因此，极值点为1和2，其中x＝1取不到，x＝2可取，根据f(x)的正负画出极值表，减区间为(1，2)．16．一个班级有30名学生，其中10名女生，现从中任选3名学生当班委，则女生小红当选的概率为X表示3名班委中女生的人数，则P(X≤2)＝【答案】1197；10203；令．12C1C291【解析】（1）设小红当选班委为事件A，则P(A)＝3；C3010（2）要求P(X≤2)，只需要求出P(X＝3)，用1﹣P(X＝3)求出P(X≤2)，．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z1m(4m2)i，z22cos(3sin)i(，，mR)．（1）当m＝﹣1时，z1是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值；（2）若z1z2，求的取值范围．【解析】解：（1）当m＝﹣1时，z1＝﹣1＋3i，则z12(13i)286i，由题意可知，2z12＋pz1＋q＝0，即2(﹣8﹣6i)＋p(﹣1＋3i)＋q＝0，整理得q﹣p﹣16＋(3p﹣12)i＝0，所以q﹣p﹣16＝0，3p﹣12＝0，解得p＝4，q＝20；（2）因为z1z2，所以m(4m2)i2cos(3sin)i，m2cos所以，消去m，整理得＝﹣4sin2﹣3sin，24m3sin9]．16又sin[﹣1，1]，所以[﹣7，18．（本小题满分12分）某地区2014至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2022年生活垃圾无害化处理量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【解析】解：（1）易知，又，所以，则所以回归方程为，；（2）由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5万吨，当x＝9时，y＝4.5＋2.3＝6.8，即2022年该地区生活垃圾无害化处理量约为6.8万吨．19．（本小题满分12分）为了调查人民群众对物权法的了解程度，某地民调机构举行了物权法知识竞答，并在所有答卷中随机选取了100份答卷进行调查，并根据成绩绘制了如图所示的频数分布表．（1）将对物权法的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“群众对物权法的了解程度”与性别有关？（2）若用样本频率代替概率，用简单随机抽样的方法从该地抽取20名群众进行调查，其中有r名群众对物权法“比较了解”的概率为P(X＝r)(r＝0，1，2，…，20)，当P(X＝r)最大时，求r的值．【解析】解：（1）2×2列联表如下：不太了解男性女性合计2比较了解373370合计455510082230100(8332237)211005.8203.841，则K307045551所以有95%的把握；7，10（2）由（1）可知，随机取一名群众，对物权法比较了解的概率为则随机变量X满足X~B(20，77)，所以其期望值E(X)＝20×＝14，1010即P(X＝r)最大时，r＝14．20．（本小题满分12分）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°．（1）求异面直线AD1与A1B所成角的余弦值；（2）求三棱锥A1—ABD的体积．【解析】解：（1）由题意知，，，所以，，又，所以，设AD1与A1B所成角为，则；（2）易知，所以，作BD中点O，连接OA，OA1，则OA＝OA1＝2，所以OA2＋OA12＝AA12，即OA⊥OA1，又A1B＝A1D，所以OA1⊥BD，因为OA，BD平面ABCD，OABD＝O，所以OA1⊥平面ABCD，因为，所以V＝．21．（本小题满分12分）某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结果）．甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为2125，甲输的概率为q，且三局比赛均没有出现平局的概率为．3216（1）求三场比赛乙至少赢两局的概率；（2）若该单位为每局比赛拿出1百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人平分奖金．设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为X（单位：百元），求X的分布列及其数学期望．【解析】解：（1）由题意可知，，解得，即每局乙赢的概率为，设乙至少赢两局为事件A，则；（2）易知随机变量X的可能取值为300,，200，100，0，﹣100，﹣200，﹣300，211，乙贏的概率为，平局的概率为，366由（1）可知，每局比赛甲赢的概率为则，，，．则分布列如下表：则数学期望．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)cosxexax，aR．（1）若f(x)在(0，)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）当a＝0时，求证f(x)1在x(，)上恒成立．22，【解析】解：（1）因为对所以故所以；恒成立，，（2）由题意知，要证在x(，)上，cosxex1，22令，则h(x)sinxex，显然在x(，)上22单调减，所以所以单调增，单调减，