概率论习题2(1)

1.设F1(x)与F2(x)分别为任意两个随机变量的分布函数，令则下列各组数中能使F(x)为某随机变量的分布函数的是F(x)aF1(x)bF2(x)，（ ）。

32223113（A）a,b；（B）a,b；（C）a,b；（D）a,b。

553322222. 以X表示某商店从开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位：分），X的分布函数是

1e0.4x,x0F(x)

0, x0求下述概率：（1）P{X3}；（2）P{X4}；（3）P{3X4}；（4）P{X2.5}。

3. 设10件产品中有7件正品，3件次品，每次从中任取一件直到取得正品为止，求下列两种情形下所需抽取次数的分布律：

（1）每次取后放回；（2）每次取后不放回。

4. 一实习生用同一台机器接连加工了3个零件，加工出的第i个零件不合格的概率pi1,i1,2,3，各个零件合格与否相互。用X表示3个零件中不i1合格品的个数，求X的分布律、分布函数及P{X2}。

5. 将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次掷出的最小点数，求X的分布律。6. 设随机变量X的分布律为P{Xk}ak/15,k1,2,3,4,5。 （1）试确定常数a；（2）求P{1X3}及P{1X3}。

7. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别是0.6和0.7。今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。

8. 设随机变量X服从二项分布b(n,p)，0P{Xm}取得最大值？

9. 进行8次射击，设每次击中目标的概率均为0.3。 （1）击中几次的可能性最大？并求相应的概率； （2）求至少击中2次的概率。

10. 设X~b(2,p),Y~b(3,p)，且已知P{X1}5/9，求P{Y1}。 11. 某电话交换站为300个用户服务。若在一小时内每个用户使用电话的概率为0.01，且各用户使用电话与否彼此，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）。

12．在纺织厂里一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某一段事件内每个纱锭上的纱被扯断的概率为0.005，求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。

13. 设X~P(),0，问k为何值时P{Xk}取得最大值？ 14. 已知某商店每月销售某种名贵手表的数量X服从泊松分布P(4)。 （1）求每月至少售出5只这种手表的概率；

（2）假定每月仅购进一次这种手表，且上月没有库存，则本月初应购进多少只这种手表才能保证当月不脱销的概率不小于0.99？

15. 设一直昆虫所生的虫卵数X服从泊松分布P()，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，且各个虫卵能否发育为幼虫是相互的。求一只昆虫所生幼虫数Y的概率分布。

16. 设连续型随机变量X的分布函数为

ABexF(x)0x0 x0其中0为常数。求常数A及B的值，并计算P1X1。

17. （柯西分布）设连续型随机变量X的分布函数为

F(x)ABarctanx,x

求：（1）系数A及B；（2）X落在区间(-1,1)内的概率；（3）X的概率密度。

18. （拉普拉斯分布）随机变量X的概率密度为

f(x)Ae|x|,x

求：（1）系数A；（2）X落在区间（0，1）内的概率；（3）X的分布函数。

19. （伽马分布）随机变量X的概率密度为

Ax1ex,x0 f(x) x00, 其中0,0都是常数。求系数A。当1时，是什么分布？

20. 设k服从（0，5）上的均匀分布，求方程4x24kxk20有实根的概率。

21. 由对英格兰在1875年至1951年间矿山发生10人或10人以上死亡的事故的研究得知，相继两次事故之间的时间间隔T（单位：日）服从指数分布，其概率密度为

1t/241e,t0 fT(t)241 t00, }。 求：（1）T的分布函数；（2）P{50T10022. 某种型号的电子元件的寿命X（单位：小时）具有以下概率密度

1000,x1000 f(x)x20, x1000现有一大批这种元件（设各元件损坏与否相互），从中任取5只，求其中至少有2只寿命大于1500小时的概率。

23. 设随机变量X~N(3,22)，（1）求P{2X5}，P{4X10}，（2）确定c使P{Xc}3P{Xc}。 P{X2}，P{X3}；

24. 某工厂决定在工人中增发高产奖，并决定对每月生产额最高的5%的工人发放高产奖。已知每个工人每月的生产额（单位：公斤）X~N(4000,602)，试问高产奖发放标准应将每月生产额定为多少？

25. 某工厂生产的电子管寿命（单位：小时）X~N(160,2)，若要求

P{120X200}0.8，则允许最大为多少？

26. 设X~b(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布： （1）Y1X2；（2）Y2X(X2)；（3）Y3X(3X)/2。 27. 设X的分布律为

1P{Xk},k1,2,

2求YsinkX2的分布律。

28. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：分）服从指数分布，其概率密度为

1x/5,x0e fX(x)5x00, 某顾客在窗口等待服务，若等候超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y1}。

29. 设随机变量X的概率密度为

2,x02 f(x)(1x)0, x0求Ylnx的概率密度。

130.（韦布尔分布）设随机变量X服从指数分布e，求YX的概率密

度，其中0,0为常数。

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