第三章作业参
3.2 解：
由题意知，AT = f(x)/x 在x*处达到极值，由极值的必要条件知， (AT)′|x=x* = [x*f′ (x*) − f(x*)]/(x*)2 = 0
从而f ′(x*) = f(x*)/ x*，因此总函数在x*处的点弹性为
E=
df(x)dxf(x)x*f′(x*)
==1 xf(x*)
即此点弹性为单位弹性。
3.3 证明：
令u = f(x)，v = g(x)，二者的乘积记为 y = uv = f(x)g(x)。需证明，Eyx = Eux+Evx。事实上，
Eyx = dlny/dlnx = (dlnu + dlnv)/dlnx = dlnu/dlnx + dlnv/dlnx = Eux + Evx
3.12
（1） 图示如下：
（2） 验证定理 A．验证定理3.3.1
由于TP(K) = 90K2 −K3，所以AP(K) = TP(K)/K = 90K − K2，MP(K) = 180K − 3K2。 结论（1）和（2）的验证如下：
平均产量函数AP(K)的递增和递减区间的分界点满足90K −K2 = 180K − 3K2，解得Ks= 45，也可解方程AP′(K) = 90 − 2K = 0获得这个分界点。
1
经验证，在区间(0，45)上AP′(K) > 0，在区间(45，+∞)上AP′(K) < 0，因此AP(K)在[0 ， 45]上递增，在[45 ， +∞)上递减；在区间(45，+∞)上MP(K) > AP(K)，在区间[45 ， +∞)上MP(K) < AP(K)。
（3）的验证如下:
若AP(K)在KS处获得极大值，由极值的必要条件，则AP′(KS) = 0，即90 − 2KS = 0，即KS = 45，且有AP(KS) = MP(KS) = 2025。
假设KS满足AP(KS) = MP(KS)和TP″(KS ) < 0，则由AP(KS) = MP(KS)或90KS −KS2 = 180KS − 3KS2可得KS = 45，从而AP′(KS) = 90 − 2KS = 0；此外TP″(KS ) = −90 < 0，AP″(KS) = −2 < 0，因此两个充分条件满足，由极值的二阶充分条件知，AP(K)在KS = 45处获得极大值。
B．验证定理3.3.2 （1）的验证如下：
求出TP(K)的拐点为N(KN，F(KN)) = (30，54000)。
由于MP ′(K) = 180 − 6K，因此当K < KN时，MP′(K) > 0，因而MP(K)递增；当K > KN时，MP′(K) < 0，因而MP(K)递减。
（2）的验证如下：
由于MP′(KN ) = 0，结合（1）的结论，由极值的二阶充分条件可知，MP在TP的拐点N(KN，F(KN))处获极大值。
3.15
（1） π(0) = k < 0；
（2） 利润函数π(Q)为严格凹函数，由凹函数的二阶微分判别准则知：对任意Q > 0，π″(Q) < 0。由于π″(Q) = 2h < 0，所以h < 0。
（3） 由定理2.6.15，当π′(Q*) = 0、Q* > 0且π(Q)为严格凹函数（即h < 0）时，Q*使π(Q)获得最大值。由π′(Q*) = 0，可知2hQ* + j = 0，从而Q* = −j/(2h)。由Q* > 0和h < 0和，可知j > 0。从而此时有h < 0，j > 0。
3.17
（1）厂商的利润函数为
π(L) = PF(L) – TFC –w0L
即最优劳动投入问题是个一元函数π(L)的极大值问题。
（2）最优劳动投入L*满足的一阶必要条件为：π′(L*) = 0，即w0 = PF ′(L*)。其经济含
义是：在最优劳动投入L*处，工资率等于劳动的边际价值。
（3）最优劳动投入L*满足的二阶充分条件为：
π″(L*) <0，即F″(L*) < 0。
其经济含义是：在最优劳动投入L*附近，劳动的边际产量是递减的。
（4）需判断dL*/dP和dπ (L*)/dP的符号
由（2）有ω0 = PF ′(L*)成立，从而P = ω0/F′(L*)。因此P是L*的函数，需要确定这个函数有反函数，即确定L*是P的函数。由于F″(L*) < 0，所以
dP−ω0F′′(L*)
=>0，从而dL*[F′(L*)]2P是L*的严格增函数，因而有反函数。这说明L*是P的函数，且有
[F′(L*)]2dL*dP
=1=>0
dL*−ω0F′′(L*)dP
这说明最优劳动投入随销售价格的增加而增加。
最优利润函数π (L*) = PF(L*) – TFC – ω0L*是P的复合函数（因为L*是P的函数），因此
dπ(L*)dL*dL*
=F(L*)+PF′(L*)−ω0 dPdPdP
2
由（2）有ω0 = PF′(L*)成立，从而π ′(L*) = F(L*) > 0，从而最优利润随销售价格的增加而增加。
（5）从（4）的解题过程中可知，二阶充分条件可确定可用来从一阶必要条件确定最优投入L*是P的函数，从而保证比较静态分析的进行。
3.18
（1）R = pq = qf(q) ，MR = dR/dq = f(q) + qf ′(q)
（2）MRPl = dR/dl = (dR/dq)⋅(dq/dl) = g′(l)[f ′(q)q + f (q)] （3）MPPl = dq/dl = g′(l)，故由（1）（2）结论可得MRPl = MR⋅ MPPl （4）dV/dq = d(wl)/dq = w⋅dl/dq = w/g′(l)；
（5）由（3）知，劳动的边际实物产出（MPPl）的导数为g′′(l)；由（4）知，产量的边际成本（dV/dq）的导数为d2V/dq2 = [d(w/g′(l))/dl]⋅(dl/dq) = −ωg″(l)/[g′(l)]3。因此劳动的边际实物产出递减的充要条件是g′′(l) ≤ 0，而这又等价于d2V/dq2 ≥ 0，即产量的边际成本是递增的。
3.24
（1）课税前，厂商的最优供给量Q*满足P*[1 − (1/|Edp|)] = MC(Q*)，即
P*(1 − 1/ε) = c，从而P* = cε/(ε − 1)
课税后，厂商的收益为TR = Q[p(Q) − t]，于是MR(Q) = p(Q)[1 − (1/|Edp|)] − t。因此厂商的最优供给量Q**满足P**[1 − (1/|Edp|)] − t = MC(Q**)，即P**(1 − 1/ε) − t = c，从而 P** = ε(c + t)/(ε − 1)
（2）由于ε(c + t) > cε，从而P** > P*。
（3）我们知，P* = g(Q*)和P** = g(Q**)，因为反需求函数p = f(Q)是递减函数，所以其反函数也是递减函数，由于（2）的结论，可得Q** = g−1(p**) < g−1(p*) = Q*。
3.26 （补充题）
（1）令P(t) = e−rtV(t)，则最优持有时间t应满足如下一阶必要条件 P′(t) = [V′(t) − rV(t)]e−rt = 0或V′(t)/V(t) = r
其经济含义为：在最优持有时间t*处，财产价值的增长率等于货币增长率。
（2）最优持有时间t*应满足的二阶充分条件为P″ (t*) < 0，即 P″ (t*) = − rV(t*) + V′(t*) − r V′(t*) + V″(t*)< 0 由一阶必要条件知，rV(t*) = V′(t*)，则上式可化简为： P″ (t*) = − r V′(t*) + V″(t*)< 0，即V″(t*) < r2V(t*)。
（3）需判断dt*/dr和dP(t*)/dr的符号
首先需确定t*是r的函数，由t*满足的一阶必要条件r = V′(t*)/V(t*)可知r是t*的函数。又
drV′′(t*)V(t*)−[V′(t*)]2
= dt*[V(t*)]2
由一阶必要条件rV(t*) = V′(t*)，
drV(t*)[V′′(t*)−r2V(t*)]
= 2dt*[V(t*)]
由二阶充分条件V″(t*) < r2V(t*)可知dt*/dr < 0，从而r是t*的严格减函数，故其反函数存在，
即t*是r的函数，并且
dt*dr
=1<0 drdt*
这说明最有持有时间t*随r的增加而减小。
最优现值P(t*) = e−rt*V(t*)，它是r的复合函数(因为t*是r的函数)。由利用复合函数求导法则有：
3
根据一阶必要条件rV(t*) = V′(t*)，
这说明最优现值P(t*)随r的增加而减小。
（4）从（2）的计算过程可知，二阶充分条件可保证比较静态分析的进行。
4
