2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学3

（考试时间120分钟，满分150分）

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么 棱柱的体积公式

P(AB)P(A)P(B) VSh

如果事件A,B相互，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高

P(AB)P(A)P(B) 棱锥的体积公式

1如果事件A在一次试验中发生的概率是p， VSh

3h表示棱锥的高 则n次重复试验中恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积，Pn(k)CnP(1P)kknk(k0，1,2，，n) 球的表面积公式

台体的体积公式 S4R2

V13h(S1S1S2S2) 球的体积公式

43其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积， VR

3h表示棱台的高 其中R表示球的半径

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

（1）（原创）已知U为全集，A,B,I都是U的子集，且AI,BI，则CI(AB)（ ）

（A）xU|xA且xB （B）xU|xA或xB （C）xI|xA且xB （D）xI|xA或xB

（2）（全品改编）执行如图1的程序框图，输出的T的值

为（ ）

（A）12 （B）20 （C）30 （D）42

（3）（原创）等比数列an中，a10，则“a1a3”

是“a3a6”的（ ）

T=T+n 图1 开始S=0,T=0,n=0 是 T>S 否 S=S+5 n=n+2 输出T 结束 1

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）（课本改编）设i为虚数单位，则下列运算结果不是纯虚数的是（ ） ．．

（A）

1i1i （B）(1i)(1i) （C）(1i)2 （D）(1i)2

（5）（原创）已知m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么下

列情形可能出现的是（ ）

（A）lm,l// （B）（C） lm,l （D） l//m,l// l//m,l （6）（2007模拟题改编）已知点A(cos10,sin10)、B(sin40,cos40)，则直线AB 的

倾斜角等于（ ）

（A）135 （B）120 （C）105 （D）95

（7）（原创） 已知OAB三顶点坐标分别是O(0,0)、A(1,1)、B(2,0)， 直线axby1与线段OA、AB都有公共点，则对于2ab下列叙述正确的是 （ ） （A）有最大值而无最小值 （B）有最小值而无最大值 （C）既有最大值也有最小值 （D）既无最大值也无最小值 （8）（原创）如图2，正方体ABCDABCD中，

M为BC边的中点，点P在底面ABCD和侧面

ADMBCDDC上运动并且使MACPAC，那么点 P的轨迹是（ ）

CA（A）两段圆弧 （B）两段椭圆弧

PB（C）两段双曲线弧 （D）两段抛物线弧

D图2

C（9）（2011模拟题改编）ABC中，内角A,B,C所对边长为a,b,c，满足ab2c，

如果c2，那么ABC的面积等于（ ）

（A）tanA （B）tanB （C）tanC （D）以上都不对

（10）（2011模拟题改编）已知f(x)是定义在[a,b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，

且满足下列条件：f(x)的值域为G，且G[a,b]；对任意x,y[a,b]都有f(x)f(y)xy．那么，关于x的方程f(x)x在区间[a,b]上根的情况是

222 2

（ ） （A）可能没有实数根 （B）有且仅有一个实数根

（C）恰有两个实数根 （D）可能有无数多个实数根

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）（课本题改编）若(3a21a)的展开式中含a项，则最小自然数n_________D n3．

（12）（2012北京高考题改编）如图3, ABC与ACD都是等腰直角三角形, 且ADDC2,

ACBC, 平面DAC 平面ABC, 如果以ABC平面为水平面, 正视图的观察方向与AB垂直,

C

B

则三棱锥DABC左视图的面积为__________.

A 图3

（13）（2011模拟题改编）编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、

白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有 ______种．

（14）（原创）首项a11的等差数列an，其前n项和为Sn，对于一切kN，总有

Sk2(Sk) 成立，则an________．

（15）（全品改编）已知双曲线

x229y216定点A(1,3)，点P在1的左右焦点分别为F1,F2，

双曲线的右支上运动，则PF1PA的最小值等于________． （16）（2011温州模拟题）如图4，线段AB长度为2，点A,B

分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为 一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC1，O为坐 标原点，则OCOD的取值范围是 .

图4

（17）（原创）实数abc且ab1c，abc(c1)，则c的取值范围为________．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18）（2012杭州高三期中联考改编）（本题满分14分）

3

平面直角坐标系中，ABC满足AB(3sin,sin)，AC(cos,sin)， （Ⅰ）若BC边长等于1，求的值（只需写出(0,2)内的值）； （Ⅱ）若恰好等于内角A，求此时内角A的大小． （19）（2010高考模拟改编）（本题满分14分）

某种鲜花进价每束2.5元，售价每束5元，若卖不出，则以每束1.6元的价格处

理掉．某节日需求量X（单位：束）的分布列为

X P 200 0.20 300 0.35 400 0.30 500 0.15 （Ⅰ）若进鲜花400束，求利润Y的均值． （Ⅱ）试问：进多少束花可使利润Y的均值最大？ （20）（原创）（本题满分14分）

如图5，ABC的三边长分别为AC6、AB8、BC10，O为其内心；取OA、

OB、OC的中点A、B、C，并按虚线剪拼成一个直三棱柱ABCABC（如

图6），上下底面的内心分别为O与O；

A A

A B B

O C C

B B O A O 图6

C C

图5

（Ⅰ）求直三棱柱ABCABC的体积；

（Ⅱ）直三棱柱ABCABC中，设线段OO与平面ABC交于点P，求二面角

BAPC的余弦值．

（21）（全品改编）（本题满分14分）

定长等于26的线段AB的两个端点分别在直线y动，线段AB中点M的轨迹为C； （Ⅰ）求轨迹C的方程；

4

62x和y62x上滑

（Ⅱ）设过点(0,1)的直线l与轨迹C交于P,Q两点，问：在y轴上是否存在定点T， 使得不论l如何转动，TPTQ为定值．

（22）（原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目）（本题满分16分）

设函数f(x)x214，g(x)12（其中e为自然底数）； ln(2ex)，

（Ⅰ）求yf(x)g(x)（x0）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函数h(x)kxb使得f(x)h(x)且h(x)g(x)对一切

x0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）数列an中，a11，ang(an1)(n2)，求证：(akak1)ak1k1n38．

5

2013年高考模拟试卷数学卷（理科）

学校 班级 姓名 考号 答题卷

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一

项是符合题目要求的。

题 号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11 ________. 12 ________. 13________ .14________. 15________. 16________. 17____ ____.

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18、(本小题满分14分)

6

19、(本小题满分14分)

B 20、(本小题满分14分) A O A O C C B 图6 7

21、(本小题满分14分) 8

21、(本小题满分16分)

9

2013年高考模拟试卷数学卷（理科）参与评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）A；（6）B；（7）D；（8）C （9）C；（10）B 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

(11) 7； (12)2； （13）24； （14）an2n1或an1； （15）11； （16）[1,3]； （17）(13,0) ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分， （18）解：（Ⅰ）因为BC(cos3sin,0)，所以BC2sin(6)，-------2分

53 若BC边长等于1，则sin(6)2312，在(0,2)内5323或或----5分

由于AB与AC不共线，所以 （Ⅱ）cosAABACABAC或．----------------------------7分

23sinAcosAsin2sinAA3cosAsinA2，--10分

所以(2所以A3)cosAsinA，tanA23---------------------------12分

512．-----------------------------------------------------14分

（19） 解：（Ⅰ）销售量S（单位：束）的分布列为

S P 200 0.20 300 0.35 400 0.45 所以E(S)325，-----------------------------------------------4分 而Y3.4Z360，所以E(Y)3.4325360745．--------------7分

（Ⅱ）设进n（n500）束花，当400n500时，销售量S（单位：束）的

分布列为

S P 200 0.20 300 0.35 400 0.35 n 0.15 可得E(S)0.15n285；而E(Y)0.39n901；

同理可对其它区间讨论后得

10

2.5n(n200)1.82n136(200n300) E(Y)；-------------------------11分

0.63n493(300n400)0.39n901(400n500)易知，n400时，E(Y)取最大值745．------------------------------14分

（20）解：（Ⅰ）易知ABC为直角三角形，且其内切圆 半径等于2，--------1分 所以直三棱柱ABCABC的高等于1，-----------------------------2分 体积V(34)16； ---------------------------------------5分

21（Ⅱ）如图7以A为原点建立空间直角坐标系，则

z AB(4,0,1)，AC(0,3,0)，设平面ABC 4xz0的法向量m(x,y,z)，则，

3y0O B A A O P C C 所以m(1,0,4)--------------------7分 再设AP(1,1,z0)，则由APm0得

z014x B 图7 y ；即AP(1,1,)；-----------------------------------------10分

41而AB(4,0,0)，所以若设平面ABP的法向量n(x,y,z)，则

4x0，可得n(0,1,4)；-------------------------------12分 1xyz04所以cosm,n所以其余弦值等于16171617，而二面角BAPC为钝角，

．---------------------------------------------14分

6262（21）解：（Ⅰ）设M(x,y),A(x1,x1),B(x2,x2)，

则x1x22x、x1x24y6；--------------------------------2分

代入AB(x1x2)2(x1x2)226得轨迹C的方程为

11

16y626x224，即

y29x241；-----------------------------5分

（Ⅱ）（1）若l不与y轴重合，设直线l方程为ykx1，代入椭圆C的方程得 (4k29)x28kx320，设P(x3,kx31),Q(x4,kx41)， 则x3x48k4k29，x3x4324k29；---------------------7分

设点T(0,t)，则TPTQx3x4(kx31t)(kx41t) (1k2)x3x4k(1t)(x3x4)(1t)2

32(1k)8k(1t)(1t)(4k4k222222 9)92

[408t4(1t)]k4k2[329(1t)]2922------10分

使TPTQ为定值，则

299329(1t)408t4(1t)1679994，解得t299

即对于点T(0,)总有TPTQ；----------------------12分

299)也有TPTQ16799 （2）当l与y轴重合时，P(0,3),Q(0,3)，对于点T(0,故在y轴上存在定点T(0,12x299，

)使得TPTQ为定值．---------------14分

（22）解：（Ⅰ）x0时y2x124x12x2，易知0x12时y0、x12时

y0；所以x时求yf(x)g(x)取最小值等于0；-------------4分

1112 （Ⅱ）由题Ⅰ易知，f()g()22，所以h()21122；----------------6分

k2140

所以可设h(x)kx12k2，代入f(x)h(x)得xkx2恒成立，所以(k1)0，所以k1，h(x)x；--------------8分

此时设G(x)x112ln(2ex)，则G(x)112x，

易知G(x)G()0，即h(x)g(x)对一切x0恒成立；

2综上，存在h(x)x符合题目要求，它恰好是yf(x)，yg(x)图象的公切线．

12

（如图8所示）---------------------------------------------10分

（Ⅲ）先证an递减且

12an1(n2)；

由题（Ⅱ）知g(x)x，所以

ang(an1)an1，即an为递减数列；

又a11，a212ln2112112，所以

图8

，„ a3g(a2)g()22111因为当ak时总有ak1g(ak)g()，

222所以

12nanan1a11；------------------------------13分

n 所以(akak1)ak1k1(ak1kak1)akak12nk1akak1222

a1an12221143．-------------------------------------16分

28 13